Física Teórica – Electricidade e Magnetismo (Post #2)

Este é o segundo post em Electricidade e Magnetismo.

Para começarmos a fazer alguma coisa, há sempre que começar por definições ou por tomar conceitos básicos por garantidos. Vamos tomar como garantido que estes efeitos eléctricos e magnéticos em materiais podem ser compreendidos ao se criar um campo. Um campo é simplesmente uma distribuição espacial de uma certa quantidade, que pode depender (ou não) do tempo. O que vamos descobrir é que o magnetismo que é observado em tantos fenómenos não é nada mais que uma consequência do campo eléctrico não ser constante no tempo (ou seja, de depender do tempo) e vice-versa. Vamos ainda descobrir que, em condições ideais, estes campos podem produzir ondas que são radiadas da origem. Mas o que são estes objectos matemáticos, campos?

Uma motivação rápida em Campos

Como acabei de referir, para poder compreender o modelo electromagnético clássico é preciso compreender análise vectorial. Só assim é possível explicar a variação destas quantidades e calcular o seu estado num determinado tempo. É quase como dizer que, antes de dar uma resposta sobre aritmética, há que primeiro definir rigorosamente operações como multiplicação, adição ou divisão.

O que é um campo, em termos gerais?
Imagina um ponto no espaço. Esse ponto tem 3 coordenadas (x,y,z). Imagina que uma certa quantidade A (exemplos seguirão) é definida em todo o espaço e que  nesse ponto, existe uma valor dessa quantidade, que chamarei a_{0}. Isto quer dizer que no ponto (x,y,z), A(x,y,z) = a_{0}. É como uma função, mas neste caso, ela depende claramente em três parâmetros: cada coordenada do ponto.
Este exemplo usa pontos no espaço (R^{3}) mas é igualmente útil para pontos no plano R^{2}, na recta R ou em espaços que não sejam euclidianos! Os campos que Einstein usa em Relatividade Geral são campos com 4 componentes (x,y,z,t). É daqui que vem a motivação do conceito de espaço-tempo (que hás de ter ouvido falar).

Que tipo de quantidade pode ser descrita por um campo? Em geral duas:

  • Campos escalares, em que a cada ponto (x,y,z) existe um escalar (um número) associado a ele. Exemplos incluem: a temperatura, a massa ou a pressão.
  • Campos vectoriais, em que a cada ponto (x,y,z) existe um vector associado a ele. Exemplos incluem: a velocidade, a aceleração, o campo eléctrico, a força ou o momento linear.

Um exemplo de campo escalar: a Temperatura

Um exemplo de um campo vectorial: a Velocidade

Como definir estes campos matematicamente

Eis a questão. Sabemos que campos dependem em várias coordenadas mas como escrever esta relação matematicamente? Vamos começar com um exemplo simples: supõe que se define um campo vectorial tal que para todos os pontos no plano o seu vector associado seja o vector (1,1). Agora imagina que a cada ponto (x,y) se define o seu vector como sendo o vector (-x,-y). Estes exemplos estão respectivamente representados na imagem abaixo.

Matematicamente, (a) é escrito como: f : R^{2} \rightarrow R^{2}, f(x_{1},x_{2}) = (1,1). Lê-se: f é uma função (o campo) do plano para o plano tal que todos os pontos sejam mapeados para o vector (1,1).

Já (b) é escrito como v : R^{2} \rightarrow R^{2}, v(x_{1},x_{2}) = (-x_{1},-x_{2}), de maneira semelhante.

Estes são campos vectoriais um bocado aborrecidos. A dependência de cada coordenada pode depender das outras todas! Um bom exemplo é dado em seguida:

Repara como a maneira como o campo foi definido o faz ter a propriedade de "rodar" sobre os pontos.

Este campo é definido por u : R^{2} \rightarrow R^{2}, u(x_{1},x_{2}) = (x_{2} - x_{1},-x_{1} - x_{2})

Como relacionar estes campos matemáticos com Electricidade e Magnetismo

Esta fica como… teaser para o próximo post.
Pensa num magnete. É sabido que existe um certo fenómeno que ocorre no espaço que rodeia o magnete que faz que com certos objectos sintam essa interacção. Colocando limalha de ferro à volta do plano do magnete, obtém-se um padrão complicado. Será um bom ponto de partida analisar este padrão para estudar a natureza desta força que existe entre magnetes ou outros corpos?

Simulação do campo magnético de um material
Limalha de ferro sob o plano de acção de um magnete. Será que ao percebermos esta distribuição da limalha se pode compreender como esta força "misteriosa" se comporta?

Até à próxima

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