Física Teórica – Electricidade e Magnetismo (Post #1)

Este é o primeiro post em Electricidade e Magnetismo.

Toda a gente sabe o que a electricidade é. Os computadores usam-na, o nosso corpo funciona à base de transmissões eléctricas pelos nervos e as nossas sinapses são produzidas por processos eléctricos. A nossa cozinha está infiltrada de pequenos electrodomésticos que funcionam numa base muito simples: transformar energia “incorporada” na corrente para a transformar em trabalho mecânico (uma batedeira ou liquidificadora), calor (uma chaleira) etc… Alguma vez pensaste como é possível “remover” a energia da corrente para que estes utensílios trabalhem? Como transportar corrente de um sítio a quilómetros de distância?

Mas realmente, o que é a electricidade? A resposta não é fácil e levou muitos séculos a ser desenvolvida.  Como definir algo que parece tão complicado à mente humana para entender. Neste série vou tentar introduzir, com intuição e exemplos fáceis de visualizar, a teoria por trás de electromagnética de campos e ondas.

Ideias em Electricidade: um caso simples

Sem grande surpresa. Se fizeste o teu 9º ano com equações como V = RI (o potencial de um fio de cobre como o produto da sua resistência pela sua intensidade de corrente), posso assegurar-te que nada do que aprendeste é realmente geral. Isto acontece porque, para se generalizar um resultado, é necessário um poder enorme de descobrir propriedades comuns a TODOS os sistemas nas mesmas condições. Seguramente V = RI não é uma equação fundamental. De facto, e como aparte, esta foi proposta por Georg Simon Ohm (1789-1854) , um físico alemão. Sem qualquer demonstração por primeiros princípios, Ohm reparou que se aumentasse o potencial aplicado a diversos materiais, a intensidade da corrente observada no material tinha uma relação  muito especial: é simplesmente linear.

Repara neste gráfico:

Ohm apenas constatou um facto empírico. Sem usar axiomas de Física (normalmente teoremas de conservação – conservação é tudo em Física!), Ohm reparou que tal relação era comum a muitos materiais. Como se trata de uma recta, tem de existir uma constante que represente o declive da recta. Ohm chamou-a de R, a resistência. Sem grande originalidade, esta relação R = VI é chamada de Lei de Ohm.

O estudo de Electricidade e Magnetismo requer muitos conceitos matemáticos

Para poder explicar e descrever (os grandes objectivos da Física) é necessário generalizar. Certamente que já reparaste em tal facto. Talvez seja por isso que muita gente não consegue entender Matemática: não conseguem entender como é possível a generalização de muitos fenómenos ou  ideias.

Em Electricidade e Magnetismo, como podes imaginar ou já saber, uma das técnicas mais bem sucedidas é a invenção de um campo. Já ouviste falar em campos magnéticos ou campos eléctricos. Muita gente vende medicina FALSA à espera que outros que não entendem ciência possam cair em tal balela, num uso pretensioso de terminologia cientifica.

O conceito de campo é essencial em E & M. Pensa neste exemplo: num quarto, a cada ponto (x,y,z) tem de existir uma grandeza que meça a intensidade (quão forte) o campo eléctrico é e a sua direcção. O campo eléctrico é normalmente denotado de \vec{E} e o campo magnético de \vec{B} e são funções de espaço e tempo. Não os podes desenhar sempre mas para um caso sem dependência de tempo é possível.

Computação real do campo eléctrico produzido numa molécula. A ideia é simples: a cada ponto do espaço existe uma certa intensidade e direcçao da força eléctrica. Sabendo exactamente quanto é em todos os pontos, é possível criar uma simulação da trajectória de uma partícula carregada electricamente. Muitas outras quantidades são definidas através desta abstracção de campo.

O conceito de espaço é importante em Electricidade e Magnetismo

Se estes campos eléctricos e magnéticos são para ser entendidos, certamente que as propriedades do espaço são importantes. Como sabes, existem várias áreas que estudam esta área e estas são todas irremediavelmente de origem matemática. Análise Vectorial, Geometria, Topologia, Álgebra e Geometria Diferencial tratam de estudar a natureza do espaço e como é possível generalizar a ideia a novos espaços. Normalmente quando se pensa em espaços pensa-se no espaço 3D mas em Matemática há mais poder para generalizar. Há espaços com muitas dimensões e com propriedades diferentes. Se segues os posts de Matemática, o que eu faço em Teoria de Grupos, Teoria de Anéis e em parte em Análise é generalizar propriedades de diversos espaços a dimensões superiores. Em Física Clássica assume-se que o espaço é continuo e que portanto ele se comporta como… os números reais R! É por isso que é preciso estudar mais abstracção: ao saber o que segue da estrutura dos números reais pode-se saber mais sobre como os fenómenos estritimamente clássicos operam no mundo real.

Como introduzir notação que tenha em conta esta importância de espaço? É uma questão interessante. Como exemplos posso dar:

  • \oint_{\partial \Sigma} \vec{E} \cdot \vec{da} = \frac{Q}{\epsilon_{0}} (A Lei de Gauss para Electrostática em forma integral)
  • \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} (A Lei de Gauss para Electrostática em forma diferencial)
  • \vec{D} = \epsilon_{0} \vec{E} + \vec{P} (A definição de uma corrente de deslocamento)
  • \iiint_{\Sigma} ( \nabla \times \vec{E} ) \ dS = \oint_{C} \vec{E} \cdot d \tau ( O Teorema de Stokes aplicado a um campo eléctrico E)
  • \oint_{\gamma} \vec{B} \cdot dl = \mu_{0} I (A Lei de Àmpere para o campo magnético)
  • \nabla \times \vec{B} = \mu_{0} \vec{J} + \mu_{0} \epsilon_{0}\frac{\partial }{\partial x} \vec{E} (A equação de Maxwell-Àmpere)

Esta notação pode parecer complicada ou mesmo inteligível mas garanto que fazem sentido. São generalizações do que acontece mesmo. Estas equações estão a descrever exactamente o que estã a acontecer em TODOS os pontos de uma certa superfície, curva, loop a cada instante t. Algumas têm 6 ou mesmo 24 variáveis, todas copuladas entre si; repara quão simples elas parecem, mas quanto elas dizem!

Mais que electricidade e magnetismo, face à incredibilidade de muitos, hoje sabemos que a luz que todos nós vemos é de facto uma perturbação de um campo eléctrico e magnético. A teoria e a experiência estão do mesmo lado. Existe, até, uma equação que  descreve o comportamento de uma onda no espaço-tempo, derivada pelo grande físico James Clerk Maxwell que derivou 4 equações que descrevem campos eléctricos e magnéticos.

Uma equação que é absolutamente fundamental em teoria de ondas electromagnéticas é precisamente que

\nabla \vec{E} = \mu_{0} \epsilon_{0}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} e que \nabla \vec{B} = \mu_{0} \epsilon_{0}\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}. Isto diz muito sobre os campos que podem representar tais ondas. Com esta equação de onda podemos saber que a luz que todos vemos pelos nossos olhos é uma perturbação de campos desta forma:

Maxwell não queria imaginar quando, da sua teoria puramente teórica e axiomática que ele tinha descoberto… o valor da velocidade da luz no vácuo. Hoje sabemos que o valor teórico e experimental são o mesmo, com precisões de 1 em partes de milhão!

No próximo post vamos fazer uma revisão de ideias básicas de Electricidade. Magnetismo é mais complicado e tem de vir depois!

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2 thoughts on “Física Teórica – Electricidade e Magnetismo (Post #1)”

  1. Legal o post, contudo algumas equações estão erradas. Talvez vc tem confundido derivada temporal com derivada espacial. Veja a equação de Maxwell-ampere e as equações de onda para os campos eletromagnéticos.

    Outra coisa, acho q vc deveria escrever as referencias.

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    1. Olá e obrigado pelo comentário!
      Tem razão, A equação de onda tem uma derivada parcial errada! Vou já corrigir.

      Em relação às referências, este material é material introdutório e não é suposto ser absolutamente rigoroso mas mais conceptual. Este material pode ser encontrado em qualquer livro introdutório de referência na área.
      O que uso como guia para esta série é Field and Wave Electromagnetics do David Cheng.

      Gostar

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