Álgebra Abstracta – Teoria de Anéis (Post #2)

Neste post vamos tentar caracterizar a natureza e estrutura dos números reais R. Sem se definir uma certa estrutura nos números reais, certamente que muitos resultados que se pretendem provar não o podem ser pois a alguma parte do processo será preciso usar factos sobre a estrutura e então chegar a implicações deles mesmos. Por isso é que eu defini um corpo como tendo aquelas 9 propriedades.

Quero então explicar o porquê dos axiomas que usei para definir um corpo K. Isto, como poderás entender, nada faz do que generalizar aquilo que gostamos que aconteça nos números reais (ou nos números racionais). (1)  Não te preocupes, no entanto, apenas vou trabalhar com reais por enquanto.

Uma razão para ter escolhido aqueles axiomas para um corpo K

Essas propriedades são muito interessantes: se pensares nos axiomas (A1)(A2)(A3)(A4) eles são reminiscentes… dos axiomas de um grupo aplicado à operação adição. Revê o conceito de grupo aqui. De modo semelhante, os axiomas (M1)(M2)(M3)(M4) definem a estrutura de um grupo para a operação multiplicação. O nono axioma postula como é que uma operação se comporta em relação à outra. Ou seja, a estrutura individual de cada grupo define operações APENAS dentro de cada grupo, por cada operação. Isto explica que o facto de o conjunto R com adição é um grupo e  apenas referir que é possível adicionar elementos dentro deste conjunto. O mesmo se aplica para a multiplicação.

Sabe-se então, que se \alpha, \beta \in R, a sua adição, \alpha + \beta \in R é bem definido, e o mesmo é aplicado à multiplicação; \alpha \cdot \beta \in R e é igualmente bem definido. Será que todos os elementos do grupo podem ser conhecidos?

Pensa neste exemplo. Considera um elemento x \in R e \alpha + \beta como no parágrafo anterior. Sabemos que \alpha + \beta \in R e que x \in R portanto, visto que R forma um grupo sob multiplicação, o elemento x \cdot ( \alpha + \beta) tem de pertencer a R i.e. tem de ser real; mas que número será, em função de \alpha e \beta ? Não podes derivar este facto através de nenhum axioma dos grupos aditivos e multiplicativos em R. Isto quer dizer que tens de os definir… Daí nasce o axioma (D) (distribuitividade) que te diz que, de facto, x( \alpha + \beta) = x \cdot \alpha + x \cdot \beta

O que os Algebristas estão a fazer não é complicado: é senso comum

Podes pensar que estes axiomas são fúteis e que ter nove condições para que esta estrutura seja um corpo. Se pensares um pouco mais sobre o assunto, vais concordar que 9 axiomas parecem “satisfatórios” para definir uma generalização dos números reais: 4 para cada operação (adição, multiplicação) e um que define uma operação sobre a outra. Todo o corpo é um anel mas nem todos os anéis são corpos. Se seguires os posts em Teoria de Anéis vais perceber que quando o anel se assume ser um corpo existem implicações lógicas interessantes e é possível de construir novos anéis.

Um exemplo : o anel de polinómios sobre um corpo K.

Pensa no corpo K = R (os números reais). Pensa agora numa variável x \in R e pensa em expressões polinomiais que podes construir. Um caso pode ser -e^{4} x^{3} + 3x^{2} + \pi x^{1} - \frac{2}{47}, visto que todos estes coeficientes pertencem a R, nas suas respectivas potencias da variável x. É possível construir anéis em que, em vez de ter só estes elementos do corpo K temos o conjunto de todos os polinómios com coeficientes em K.Vamos então definir o que um anel polinomial é:

Definição 1: (Definição de um polinómio sobre um corpo K)

Seja K um corpo e sejam x_{1}, x_{2}, ... , x_{n} n variáveis em K. Então uma expressão \sum_{k=0}^{n} a_{k} \left ( \prod_{i \neq j} (x_{i}x_{j}) \right ) é um chamada de polinómio sobre um corpo K, com a_{k} \in K.

Exemplos incluem: um corpo K = R (números reais) contém um polinómio com variável x dado por 2x - \frac{5}{7}x^{3} + 2 ou 7x - 4.

Definição 1: (Definição de um anel polinomial sobre um corpo K)

Um anel polinomial é um triplo (S, +, \times) em que S é o conjunto de todos os polinómios sobre um corpo K e + e \cdot duas operações binárias denominadas de adição de polinómios (+) e multiplicação de polinómios (\times)

O conjunto de todos os polinómios de n variáveis em K é representado por K[x_{1},x_{2},...,x_{i}]

Veremos mais adiante que, mais que um conjunto, este pode torna-se um anel em relação as duas operações que introduzi: a adição e a multiplicação de polinómios.
Por agora, alguns exemplos:

Tomando o corpo K = R (números reais), com duas variáveis x, y \in R, polinómios permitidos no conjunto são:

  • 4 ( 4 \in R e porque 4 = 4 \times x^{0} + 1 \times y^{0}, por exemplo. (Ou seja, todos os elementos do corpo têm o seu próprio polinómio no conjunto.$ (4)
  • 2xy - \frac{2}{5}x^{2}y^{3} - \pi y^{2}. Todos os coeficientes pertencem a R e todos os monómios são um produto de potências de x e y.
  • 1 + x (obviamente)
  • \pi - x^{2}y

Pequeno aparte: Formas Quadráticas e quando a geometria se alia

Este exemplo que dei, com duas variáveis, tem um nome um tanto óbvio: chamam-se formas quadráticas.

Se sabes algo sobre álgebra de superfícies ou de álgebra linear, sabes que estas condições têm implicações geométricas. Através destes polinómios é possível criar diferentes espaços geométricos como esferas, elipsoides, hiperboloides, rectas, elipses, parábolas, etc$.  Quando se constroem polinómios deste tipo em que agora cada monómio apenas pode conter grau até um certo outro número, começa-se a perceber melhor o fenómeno.  Isto quer dizer que apenas podes encontrar monómios do tipo xy, x^{2} , y^{2} mas não x^{2}y^{5} pois tem um grau combinado de 5.

Quando se equaciona uma forma quadrátiva q a 0, i.e. q =0, as soluções (ou seja, o valor das variáveis x e y \in K formam padrões poderosos. Pensa neles como sendo a superície tal que todos os pontos na superfície, com as duas coordenadas (x,y,z) vão fazer q = 0. Existem muitos tipos, mostro alguns para que te apercebas da diversidade de formas:

Solução da forma quadrática 0.25x^{2} + 0.16y^{2} -z^{2} = 1. Esta forma é chamada de hiperboloide de uma folha.
Uma curva paraboloide, chamada de paraboloide hiperbólica, outra solução para uma forma quadrática geral.

Exemplos podem ser dados por: 2x^{2} - \frac{8}{7} xy +6y^{2}, 0.1 y^{2} - 2x^{2} ou 5xy mas não 6 + 2xy visto que 6 não tem grau polinomial 2.

 

De volta à acção: construindo o anél polinomial de um corpo K

Este novo conjunto K[x_{1},x_{2},...,x_{i}] tem de ser maior que um corpo K! Pensa: por cada elemento \alpha \in K, liga-o ao polinómio \alpha + \alpha x^{1} + \alpha x^{2} + \alpha x^{3} + ... + \alpha x^{i} para um número natural i. Podes verificar que este mapa não pode ser bijectivo (um-para-um): pois para isso existir, mesmo que verifiques para TODOS os elementos x \in \alpha e o ligues a um polinómios, não há ligação possível para os polinómios (\alpha + \beta)^{2} + \alpha x^{3} + \beta x para um outro elemento b \in K. Ou seja, há mais polinómios que podes formar com n elementos de um corpo. (2)

Que número, no entanto? Assumindo que |K| = n e assumindo que consideramos um polinómio com grau i, tem de existir m^{i}.

Um reparo tem a ver com algo fantástico: esta cardinalidade de um corpo fechado não pode ser arbitrária. Inicialmente podes pensar que sim, mas é possível provar que, de facto, se K é um corpo, a sua cardinalidade tem de conformar com a condição |K| = p^{n}, p sendo um número primo que represente a sua característica. Não importa o que p representa: a ideia é que, a haver grupos de uma dada ordem, eles terão de ser obrigatoriamente um expoente de um primo. Não podes encontrar um corpo K com 6 elementos pois 6 = 2 \times 3 como composição prima e não corresponde a uma potência de um primo. Galois descobriu este facto.

Espero que tenhas entendido a razão pela qual usamos os axiomas para um corpo K como tal. No próximo post, vamos definir estas operações de adição e multplicação de polinómios e ver que de facto, K[x_{1},x_{2},...,x_{i}]  forma um anel. Mais material seguirá.

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(1) Se seguires a série em Teoria de Anéis vais concordar que fizemos algo muito parecido: tomamos o conjunto dos números inteiros relativos Z e, sobre as operações adição e multiplicação definimos um anel. Um anel é, então, uma generalização da estrutura dos números inteiros mas para qualquer operação que seja aditiva e multiplicativa (já vimos muitas possibilidades para tais operações: adição módulo 5, multiplicação de permutações, produto vectorial…)

(2) Aqui n pode ser potencialmente infinito. Para os números reais, estes formam um corpo infinito. É fácil provar que K = \{ 0, 1 \} com operações + (mod 2) e \times (mod 2) forma um corpo, mas é claro que |K| = 2 .

(3) A saber mais aqui:

(4) E então o mapa é sobrejectivo.

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