Análise Matemática – Introdução a Análise Real (Post #3)

No post passado, introduzi uma maneira mais analítica de olhar para “números”. Toda a gente tem a intuição do que um número é, mas eu argumento aqui que essa intuição é errada. A razão é simples: um número em si não define uma classe de objectos com as mesmas propriedades. É isto que estou a tentar transmitir em por exemplo, Introdução a Teoria de Grupos, Teoria de Anéis e nesta série em Análise Matemática. Vamos perceber porque é que há números e números ao longo desta série.

Neste post, decidi falar um pouco sobre números muito especiais. Quando se chega ao nível dos números reais R, muita gente pensa que se chegou ao fim da linha (no pun intended !). Há quem tenha uma visão “pragmática” (que no fundo só revela ignorância) de que os números só fazem sentido se “existirem” na natureza. Se estás interessado nestes temas, ou seja, na formulação da Matemática enquanto sistema lógico, vais ter de esperar mais uns meses pela série em Filosofia da Matemática. Adiante:

Esta propriedade que eu enunciei no post anterior, a de que os números reais são o conjunto mais pequeno (1) que é contínuo e completo, é algo genuinamente brilhante. Quase nada poderia ser feito em métodos físicos se não se assumisse que existe, afinal de contas, um limite para sequências que convergem. Vou concretizar esta ideia mais à frente. Primeiro, vamos tentar perceber o que R, os números reais, têm de tão especial.

Lê rapidamente este post sobre a definição de um conjunto. Não custa nada e facilita a compreensão de toda a ideia.

Os números reais são um corpo

Esta é uma definição que não é particularmente instrutiva se não tiveres em mente estudar ou perceber Álgebra Abstracta. Se leste o primeiro post de Teoria de Anéis, sabes que R é uma estrutura chamada anel. Lè mais aqui.

O que é que um corpo tem de satisfazer? Muito simplesmente, um corpo é um triplo de elementos: um conjunto e duas operações binárias. Uma operação binária é uma operação qualquer que transforma, dados DOIS elementos desse conjunto, num outro elemento. Exemplos de operações binárias podem ser:

  • A operação binária + (adição). Dados dois elementos x,y num certo conjunto S, podes definir a + b. Exemplo 2 + 1 = 3
  • A operação binária \times (multiplicação). Dados dois elementos x,y num certo conjunto S, podes definir a \times b. Exemplo 2 \times 1 = 1.
  • A operação \circ que eu vou definir como o ângulo entre dois vectores. Ou seja: dados dois vectores \vec{a}, \vec{b}, defino como \vec{a} \circ \vec{b} como o menor ângulo entre eles.

 

  • Um exemplo mais sofisticado: adição módulo n. +_{n}. Esta adição é diferente. Em vez de pensares em adição de números sobre uma linha, pensa em adição de linha sobre…. uma circunferência! Estou certo que concordas que, no que concerne a tempo, 13:00 = 1:00. Claro que 13 \neq 1, o que estamos a dizer é que estes números são “essencialmente” o mesmo número no sistema de 12 horas. Este exemplo é de adição módulo 12 mas podes definir esta equivalência para qualquer número  natural! (2)
  • Outro exemplo: dados dois elementos x e y, define a operação binária \cdot tal que x \cdot y = 0. Esta operação é um bocado desinteressante, não faz grande coisa. Para quaisquer dois pares de elementos a função manda-os sempre para o elemento 0. No entanto, lembra-te: isso não importa para uma definição! Ao definires algo há sempre uma classe de objectos que obedecem a essa definição e o que importa é que os exemplos que encontres pertençam a tal classe. Para a matemática “desinteressante” é irrelevante ou sem significado.

Operações Binárias fechadas ou completas: uma revisão!

Uma pergunta rápida: quando estas operações são aplicadas, será que o resultado está de novo dentro do conjunto S ?
Se não consegues pensar num contraexemplo, eu ajudo:
Pensa nos números irracionais. Vou denotá-lo aqui (e só aqui, não é notação standard) por I. É precisamente pelo que vou demonstrar que ninguém cria uma letra para os irracionais. Não servem de muito para estudar. Do post anterior sabemos que \sqrt{2} é um número irracional. Se tomar a minha operação binária como \times (multiplicação normal), será que o resultado é SEMPRE um elemento do conjunto inicial?
Não. Repara: \sqrt{2} \in I, então \sqrt{2} \times \sqrt{2} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2 \notin I. Ou seja, encontrámos pelo menos um resultado que não se encontra no conjunto I.
Este post explica muito bem este conceito: um conjunto e uma operação binária que garantem os resultados de TODOS os pares de elementos x e y \in S de novo no conjunto chama-se um conjunto fechado (ou completo) sobre a operação binária.

Estamos então prontos para definir o que é um corpo.

Definição 1: (Definição de um corpo K)

Um corpo K é um triplo (S, +, \times) em que S é um conjunto, + : S \times S \rightarrow S é uma operação aditiva e \times : S \times S \rightarrow S é uma operação multiplicativa tal que:

  • (A1) O conjunto S é fechado sobre a operação +. Ou seja \forall x, y \in S, x + y \in S.
  • (A2) O conjunto S é associativo sobre a operação +. Ou seja \forall g, h, k \in S (g + h) + k = g + (h + k).
  • (A3) Existe um elemento 0_{S} \in S tal que \forall x \in S, 0_{S} + x = x + 0_{S} = x.
  • (A4) Todo o elemento tem uma inversa no conjunto. \forall x \in S \exists (-x) tal que x + (-x) = (-x) + x = 0_{S}
  • (M1) O conjunto S é fechado sobre a operação \times . Ou seja \forall x, y \in S, x \times y \in S.
  • (M2) O conjunto S é associativo sobre a operação \times . Ou seja \forall g, h, k \in S (g \times h) \times k = g \times (h \times k).
  • (M3) Existe um elemento 1_{S} \in S tal que \forall x \in S, 1_{S} \times x = x \times 1_{S} = x.
  • (M4) Todo o elemento tem uma inversa no conjunto. \forall x \in S \exists (x^{-1}) tal que x \times x^{-1} = x^{-1} \times x = 1_{S}
  • (D) Distributividade da operação \times sobre a operação + : \forall x, y, z \in S, x \times ( y + z) = x \times y + x \times z

São 9 axiomas (propriedades básicas) que têm de ser satisfeitas. Recomendo vivamente que dês uma olhada na série Teoria de Grupos até ao post 5. É rápido e compreendes a notação e tens mais intuição para compreender.

Um reparo: Embora tenha escrito +, \times, 0 e 1 NÃO assumas que são as operações que conheces. Esta é uma definição UNIVERSAL e existem infinitas operações e conjuntos que podem ser corpos. A verdade é que os Matemáticos começaram primeiro por estudar a estrutura destes corpos “fáceis” e tentaram generalizar para qualquer estrutura.

Como exemplos de corpos:

Os números reais R ! (Reparo técnico, o elemento zero (0) não pode ser inversa multiplicativa!. Rerira-o do conjunto). Percorre os axiomas de (A1) a (D) e verifica que de facto os nossos números reais tem estas propriedades engraçadas:

  • A soma de dois números reais é um número real
  • A soma de 3 números reais é associativa. (E.g. (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 = 2 + 7 = 2 + (3+4)).
  • Dado um número real, existe um número especial tal que se somares esse número a qualquer outro tenhas como resultado… ele mesmo. Que número é este? O zero. Exemplo: \pi + 0 = 0 + \pi = \pi
  • Dado um número real, podes sempre encontrar um número real que, quando somado a ele dê um número especial: 0. Exemplo: 2 + (-2 ) = (-2) + 2 = 0
  • A multiplicação de dois números reais é um número real
  • A multiplicação de 3 reais é associativa. (E.g. (2 \times 3 ) \times 4 = 6 \times 4 = 24 = 2 \times 12 = 2 \times ( 3 \times 4).
  • Dado um número real, existe um número especial tal que se multiplicares esse número a qualquer outro tenhas como resultado… ele mesmo. Que número é este? 1 , um. Exemplo: \pi \times 1 = 1 \times \pi = \pi
  • Dado um número real, podes sempre encontrar um número real que, quando multiplicado com ele mesmo dê um número especial: 0. Exemplo: 2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 2 = 1

Esta definição não é muito importante por enquanto para Análise mas é bom habituares-te à ideia. Em Álgebra é essencial. Vais perceber porque é que estou a definir um corpo. Vamos provar que existe um conjunto de números MAIOR que os números reais. Números que podes usar na vida real mas que se calhar nunca pensaste. São os números complexos C e atençâo: este conjunto tem um elemento cuja seu quadrado é -1 !

Consegues encontrar tal propriedade num número real? Tenta escrever a definição de quadrado de um número x^{2} = x \times x. Equaciona todos os casos de sinal: x pode ser negativo, positivo ou zero. Será que vais encontrar tal possibilidade, um quadrado negativo?

Fica para a próxima.

__________
(1) Este adjectivo pequeno tem uma dimensão muito matemática; tenta perceber o seu contexto em si.
(2) Se assumires que a adição “normal” é uma adição módulo n também, que módulo terá ela? Qual o seu valor n? Consegues criar uma noção de congruência entre a recta e o círculo baseado neste princípio?

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