Análise Matemática – Introdução a Análise Real (Post #1)

Este é o primeiro post sobre Introdução a Análise Matemática.

Descrever o que a Matemática realmente é uma tarefa complicada: quanto mais abstracto algo se torna, mais difícil se torna para o definir concisamente. Descrever o que é descrito usando Análise Matemática é portanto uma tarefa complicada. Existem, no entanto, elementos claros de acção de Análise:

  • A ideia de mapas entre conjuntos (1)
  • A ideia de lógica aplicada a conjuntos e elementos destes conjuntos. Em Análise estes elementos são predominantemente números (mas não necessariamente).
  • O conceito de conjunto em si: como definir, como delimitar um conjunto.
  • O uso de séries infinitas para provar convergência de diversas sequências para vários números.
  • Provar muitos conceitos que nos são “óbvios” ou “intuitivos”.

Em grande parte, a Análise Matemática usa resultados de Álgebra Abstracta. Como o nome indica, a Álgebra Abstracta representa uma maneira de pensar muito mais livre e mais geral. Este facto faz muita gente achar que é uma área complicada de se entender e de facto é preciso persistência para entender e pensar a tal nível de abstracção. Se tens algumas problemas com esta abstracção, creio que Análise Matemática te oferece uma maneira mais simples de perceber as coisas ou aqui a que te propões provar: às vezes desenhar um esboço ajuda a transformares em matemática formal aquilo que os teus olhos te dizem.

Estas ideias vão ser surpreendentes: com Análise podes provar que \pi este número mágico, pode ser escrito como o limite de muitas sequências de números, por exemplo:

\pi =4 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{}(-1)^{k}}{2k+1} = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + ...

ou que
log(2) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}

e ainda poder provar que uma função é contínua (por mais complicada que a função seja, talvez nem seja possível visualizá-la!)

A Análise Matemática, por ser um dos ramos mais fundamentais de Matemática Teórica, tem muito por onde se expandir: podes sempre generalizar definições a várias dimensões e criares mapas entre esses espaços. É algo  muito abstrato mas que é verdadeiro: os Matemáticos provam que tem de o ser.

Em várias dimensões, os mapas adquirem representações interessantes:

Esta função que introduzi agora mesmo, a função \zeta (função zeta de Riemann) é uma das mais estudadas em Matemática. Ainda não muitas propriedades que não foram ainda provadas e este processo é moroso e a tarefa é épica. (1).

Pega na tua calculadora. e faz o seguinte:

  1. Calcula o valor da expressão \frac{1}{n^{2}} para n = 1,2,3,4,5,.... até onde quiseres parar.
  2. Soma esses valores todos

Que valores obténs?

Um exemplo: estimando \zeta(2)

Para introduzir a ideia, vou fazer eu mesmo uma pequena estimativa. Porquê pequena? Porque é necessário somar TODOS essas expressões para TODOS os números naturais! Apenas quando somares TODOS irás ter o resultado. Será que podemos verificar caso por caso? Não! São infinitas parcelas para somar. Supõe que queres saber o valor de \zeta(2) estimado muito redondamente. Vamos então usar um número pequeno: calculemos até n=5.

Para n = 1, obtém-se \frac{1}{1^{2}} = \frac{1}{1} = 1
Para n = 2, obtém-se \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}
Para n = 3, obtém-se \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}
Para n = 4, obtém-se \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}
Para n = 5, obtém-se \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25}

Somando estes números todos: 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} = 1.46361111

Será que, à medida que se vai adicionando mais e mais parcelas, o resultado se vai aproximando de um certo valor? Será que vai ficando maior e maior e maior?

Este problema foi posto em 1644 por Pietro Mengoli e foi provado por Leonard Euler em 1735. É conhecido como o Problema de Basileia (2) . Nesta altura as ferramentas de cálculo ainda eram muito fracas e o resultado espantou toda a gente. Ninguém esperava que a soma de todos estes números até ao infinito fosse igual a um número específico. E que número.

Euler descobriu que \zeta (2) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + ... = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.644934.

Como é possível? Precisamente a sexta parte do quadrado deste número irracional \pi, que é simplesmente a medida de quão maior a circunferência de um círculo é maior que o seu diâmetro!

A velha questão: para que serve isto tudo?

Ainda que quem faça Matemática não tenha propriamente (ou necessariamente) um objectivo que não o de descobrir por descobrir, o que é certo é que grandes áreas de Engenharia, Física, Química, Geologia, Medicina, Construção Civil, Arquitectura, Gestão, Economia, Banca de Investimento usam resultados provados pelos nossos amigos matemáticos. De facto seria impossível viveres da maneira como vives hoje se não houvesse automação de processos com base em princípios de Análise Matemática.

Um exemplo de Física : para certos gases condensados, chamados de condensados de Bose-Einstein (que corresponde a um agregado de partículas (chamadas bosões) que interagem muito fracamente, a uma temperatura perto do zero absoluto), encontra-se que a temperatura crítica para que este fenómeno ocorra depende… da função zeta!

Foi Einstein mesmo que derivou que esta configuração teria um estado físico único quando alcançasse uma temperatura crítica T_{C} dada por:

Quando assim acontece, é bom ter os resultados e os métodos que os matemáticos de todo o mundo, ao longo de séculos e séculos, adquiriram. Sem tal análise, a aproximação ao factor 3.31 seria impossível!

No próximo post vamos falar um pouco sobre números e rever os diferentes tipos de números. Não faz sentido falarmos de algo que ainda não definimos rigorosamente!

________________

(1) Se ainda não leste os posts introdutórios de Teoria de Grupos, dá uma olhada na introdução (muito simples) que fiz sobre mapas aqui.

(1) A Hipótese de Riemann afirma que todos os zeros não triviais da função \zeta são números complexos z \in C tal que Re(z) = \frac{1}{2} ou seja, a sua parte real é igual a \frac{1}{2}. Proposta em 1859, com toda a análise já desenvolvida, permanece por ser resolvida.

(2) Para teres uma ideia de como se provam estas identidades, consulta esta página.

Anúncios

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s