Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #11)

Este é o décimo primeiro post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos.  No post passado, introduzi o conceito de subgrupo. Não acho que seja um conceito complicado de entender. Intuitivamente: um subgrupo H de um grupo G tem a propriedade de ser um grupo tal que o seu conjunto seja um subconjunto de G, em que a operação binária seja a mesma.

Como é que se pode reconhecer que tal H existe? Será que existe sempre pelo menos um subgrupo em todos os grupos? Pensando por um breve instante, hás-de chegar à conclusão que há pelo menos dois subgrupos em qualquer grupo, sempre. Para qualquer grupo, sempre! São chamados de grupos triviais porque o são sempre e porque normalmente não dão informação característica de um determinado grupo (afinal de contas, é isso que determina a diferença de vários grupos: a sua estrutura). Vamos então notar quais são:

Proposição 1: (Subgrupos triviais de um grupo G)

Seja G um grupo. Então para os subgrupo \{ e \} \leq G e para o subgrupo G \leq G .

Como lembrete, A \leq B, quando A e B são grupos, denota que o grupo A é um subgrupo de B. Vamos provar que estes subgrupos são de facto subgrupos de qualquer grupo G. Estas demonstrações são faceis e destinam-se mais a que percebas o que é necessário verificar para que um subconjunto A tem de satisfazer para que seja um subgrupo.

Antes da demonstração, um pequeno resultado facilmente provado:

Lema 1: (A inversa de identidade é a identidade)

Demonstração: Seja e a identidade (única) de um grupo G. Então $ \forall h \ G$, he =eh = h e \forall h \in G \exists h^{-1} tal que h^{-1}h =hh^{-1} = e. Aplicando as duas condições respectivamente: ee = e e ee^{-1}= e. Multiplicando pela esquerda por e^{-1} implica que e^{-1}ee^{-1}=e^{-1}e \Leftrightarrow ee^{-1}=e \Leftrightarrow e^{-1}=e e o resultado segue \square

Demonstração: Seja H = \{ e \}. Então para que H \leq G:

  1. \forall h, \ k \in H, hk \in H.
    Como só há um elemento, e (a identidade) então ee = e (visto que \forall h \in H, he=e) e então o conjunto é fechado.
  2. \forall h \in H \exists h^{-1} tal que hh^{-1} = h^{-1}h = e.
    Pelo lema 1, e^{-1}=e \in H.

… e H é um subgrupo de G i.e. H \leq G. \square.

Seja G um grupo. Então para que G \leq G:

  1. \forall h, \ k \in G, hk \in G.
    Não há nada a provar, porque G é um grupo e portanto é fechado na operação binária que o define.
  2. \forall h \in H \exists h^{-1} tal que hh^{-1} = h^{-1}h = e.
    Igualmente para esta, a existência de inversas para todos os elementos é garantida visto que G é um grupo e essa é uma das suas propriedades ((G4)).

… e G é um subgrupo de G i.e. G\leq G. \square.

Como disse, estes subgrupos não nos dizem muito. É obvio que um conjunto é sempre um subconjunto dele mesmo. A identidade é um grupo em si mesmo porque a sua inversa é ela mesma. Repara que todos os subgrupos não triviais (subgrupos que dependem da estrutura de um grupo em específico têm de conter a identidade, porque afinal são grupos em mérito próprio.

Revisitando o grupo de rotações de um quadrado por 90º

Como te deves lembrar deste post, definimos um grupo muito simples, de todas as configurações possíveis de um quadrado rodado em ângulos de 90º. Este grupo, a que chamei de R_{90^{\circ}} contém quatro elementos: R_{90^{\circ}} = \{ e,a,a^{2},a^{3} \}. Será que podemos encontrar um subgrupo neste grupo?

Se pensares em rotações de 180^{\circ} em vez de 90^{\circ}, será que os resultados possíveis farão parte de um grupo em si mesmo? Por momentos faz sentido: rodar 180^{\circ} é aplicar uma rotação de 90^{\circ} duas vezes. Como o grupo de rotações de 90^{\circ} é fechado, as rodar 180^{\circ} estão de novo no grupo e as suas inversas também.

Lembra-te que as inversas têm de ser as mesmas tanto num grupo como num subgrupo, porque um subgrupo é por definição sobre a mesma operação binária e, fixando essa mesma operação, a inversa é única. (Demonstração aqui).

Este esquema vai ajudar a perceber:

Repara que há quatro configurações possíveis de rotação por 90 graus num quadrado. Vimos que este conjunto, coma operação composição de rotações, forma um grupo. Pensa agora nas rotações por 180º graus: só há duas configurações – a original e essa rodada 180º. Ao rodar outra vez 180º, o quadrado regressa ao original e portanto não há mais elementos. Este conjunto de rotações é portanto um subgrupo das rotações de 90. Repara que as configurações do quadrado verde estão todas incluidas nas rotações do quadrado vermelho.

Proposição 2: (Existência de um subgrupo não trivial de R_{90^{\circ}})

Seja a uma rotação de 90 graus no sentido dos ponteiros do relógio.  Então o subconjuto R_{180^{\circ}} =\{ e,a^{2} \} com a operação composição de rotações forma um subgrupo de R_{90^{\circ}}. Porquê?

  1. (Completude)
    e \circ a^{2} = a^{2} \in R_{180^{\circ}}
    a^{2} \circ e = a^{2} \in R_{180^{\circ}}
    e \circ e = e \in R_{180^{\circ}}
    $latex a^{2} $ \circ a^{2} = a^{2+2} = a^{4} = e \in R_{180^{\circ}} (este facto foi estabelecido aqui )
    …E como podes ver o grupo é fechado sobre a operação.
  2. (Inversas)
    e^{-1} = e pois e \circ e^{-1} = e^{-1} \circ e = e (Acabei de o provar)
    (a^{2})^{-1} = a^{2} pois a^{2} \circ a^{2} = a^{2+2} = a^{4} = e (Observação: repara como a inversa no subgrupo é a mesma no grupo)

… e então R_{180^{\circ}} =\{ e,a^{2} \} é um subgrupo de R_{90^{\circ}} =\{ e,a,a^{2}.a^{3} \}

Que ordem?

Introduzi a definição de ordem de um grupo aqui. Que ordem tem R_{180^{\circ}} ? Claramente que | R_{180^{\circ}} | = 2.
É necessário que a ordem de um subgrupo seja igual (se o subgrupo for trivial – o grupo ele mesmo) ou menor.

A próxima pergunta que podes fazer: será que posso criar subgrupos com qualquer ordem entre a ordem do grupo e a ordem do subgrupo trivial E = \{ e \} ?
Mesmo que isto não prove a asserção, experimenta brincar com as possibilidades no grupo de rotações de 90 graus. Vais reparar que só podes criar subgrupos com ordem 1 (E)), 2 (por exemplo R_{180^{\circ}} e 4 ( o grupo todo). Repara que todos estes números dividem a ordem do grupo inicial (4). Não é possível que encontres um subgrupo de ordem 3 num grupo de ordem 4. Este resultado tem a ver com um teorema muito importante, em Teoria de Grupos chamado de Teorema de Lagrange

Teorema 2 (Teorema de Lagrange)

Se G é um grupo e H um subgrupo de G com H \leq G, então |H|  divide |G|

Ou seja, a ordem de um subgrupo tem de ser um divisor da ordem do grupo. No nosso caso, a ordem do grupo R_{90^{\circ}} era 4 e o subgrupo que encontrámos R_{180^{\circ}} que tinha ordem 2. E 2 divide 4.

Alguns reparos: Talvez agora percebas porque é que os subgrupos triviais E = \{ e \} e G são banais. Como a ordem de um subgrupo H tem de ser um divisor, como para todo o número natural n 1 divide n, este caso é sempre verificado; corresponde ao caso do subgrupo E = \{ e \}. A consequência: todo o grupo G o grupo E = \{ e \} é subgrupo de G.

Equivalentemente, como para todo o número natural n n divide n (de facto, o resultado é conhecido: \frac{n}{n} = 1 \in N, n é sempre seu divisor e o caso é trivial. Como consequência o subgrupo de ordem n = |G| tem de existir para todo o grupo G. Este caso corresponde ao subgrupo trivial G \leq G . Acabámos de transportar o conceito de divisores nos números naturais para grupos com ordem (que é igualmente um número natural). Este é o poder da Matemática e a compreensão de tal facto faz rejubilar.

Mas isto fica para a próxima. No próximo post vamos entender melhor o que este teorema trata e que aplicações nos pode dar sobre diferentes estruturas.

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