Álgebra Abstracta – Teoria de Anéis (Post #1)

Este é o primeiro post da série em Teoria de Anéis.
Esta série não é uma introdução ao tópico, portanto uma certa compreensão de Álgebra é vantajosa e mesmo necessária. Aconselho que faças uma revisão na série em Teoria de Grupos (aqui)
Definamos primeiro um anel.

Definição 1: (Definição de um anel)

Seja R um conjunto e sejam +, \ \cdot duas operações binárias : R \times R \rightarrow R. Um anel (R, +, \cdot ) é um triplo do conjunto R  e de duas operações binárias + e \cdot tal que as seguintes quatro propriedades sejam satisfeitas:

  • (R1) O par (R, +) é um grupo abeliano.
  • (R2) A operação \cdot é associativa: \forall g, \ h \ k \in R, g \cdot (h \cdot k) = (g \cdot h ) \cdot k
  • (R3) \exists 1_{R} \in R tal que \forall g \in R, g \cdot 1_{R} = 1_{R} \cdot g = g (1)
  • (R4) \cdot é distributiva sobre + : \forall g, \ h, \ k \in R, g \cdot (h + k) = g \cdot h + g \cdot k = (h + k ) \cdot g = h \cdot g + k \cdot g

Algumas particularidades de notação: Aqui, + e \cdot são análogos à adição e multiplicação, mas de facto podem ser qualquer operação (desde que verifique todos os axiomas para que seja uma operação binária). A operação + é chamada de operação aditiva (talvez porque se R for um anel então a sua operação + será abeliana (comutativa) e a operação \cdot é chamada de operação multiplicativa. Repara também que estas operações binárias comportam-se diferentemente. É errado pensar num anel como um grupo com duas operações binárias. Repara nos axiomas e pensa nas assimetrias que são pedidas a cada axioma.

Definição 2: (Definição de comutatividade de um anel)

Seja R um anel. R diz-se comutativo se a operação \cdot for comutativa em R i.e. se \forall g, \ h \in R, g \cdot h = h \cdot g.

Exemplo:

O triplo (Z, +, \times) é um anel pois:

  • (R1) : (Z,+) é um grupo abeliano.
  • (R2) \times é associativa em R: \forall g, \ h \ k \in Z, g \times (h \times k) = (g \times h ) \times k
  • (R3) \exists 1 \in Z tal que \forall x \in Z, x \times 1 = 1 \times x = x
  • (R4) \times é distributiva sobre + e \forall g, \ h, \ k \in Z, g \times (h + k) = g \times h + g \times k = (h + k ) \times g = h \times g + k \times g.

Como um ponto análogo em Teoria de Grupos, a identidade da operação multiplicativa (\cdot)  tem de ser única num anel. Como demonstração:

 

Teorema 1: (A identidade da operação multiplicativa (\cdot)  é única num anel R)

Demonstração: Se e_{R} e i_{R} \in R forem ambas identidades então \forall g \in R, g \cdot e_{R} = e_{R} \cdot g = g e g \cdot i_{R} = i_{R} \cdot g = g. Deixa queg \in R. Então g \cdot e_{R} = e_{R} \cdot g = g = g \cdot i_{R} = i_{R} \cdot g e portantoe_{R} = i_{R}. Logo 1_{R} (a identidade da operação multiplicativa é única num anel R. \square.

 

Proposição 1: (A identidade da operação aditiva (+) é única num anel R)

Isto tem de ser verdadeiro pois se R é um anel, a sua operação aditiva formará um grupo abeliano com R e então, pela demonstração 1 do post #4 em Introdução a Teoria de Grupos, a identidade da operação aditiva (denotada de 0_{R}) tem de ser única.

Pode-se esperar que estas duas identidades relativas a cada operação + e \cdot, respectivamente 0_{R} e 1_{R} sejam diferentes. Será possível criar um anel em que 0_{R} = 1_{R}?

 

Teorema 2: (Se R for um anel em que 0_{R} = 1_{R} então R = \{0_{R} \}

Demonstração: Assume que a \in R é um elemento arbitrário do conjunto. Então, através de (R3) , \exists 1_{R} tal que 1_{R} \cdot a = a \cdot 1_{R} = a. Como demonstrei, a \cdot 0_{R} = 0_{R} e então a = 0_{R}.

 

Anéis nulos, unidades, anéis de divisão, divisores nulos e domínios

Definição 3: (Definição de um anel nulo)

Um anel R é nulo se 0_{R} = 1_{R}.
Um anel é não nulo se 0_{R} \neq 1_{R}

Definição 4: (Definição de unidade)

Deixa que R seja um anel não nulo e a, \ b \in R. Um elemento a diz-se uma unidade se \exists b \in Rtal que a \cdot b = b \cdot a = 1_{R}.

Definição 5: (Definição de anel de divisão)

Deixa que R seja um anel não nulo. R é um anel de divisão se e só se (sse) o par (R - \{ 0_{R} \}, \cdot) é um grupo. (Ou seja, \forall a \in R - \{ 0_{R} \}, a seja uma unidade.

Definição 6: (Definição de divisores nulos)

Deixa que R seja um anel e a, \ b \in R - \{ 0_{R} \} tal que a \cdot b = 0_{R}. a e b são chamados de divisores nulos.

Definição 7: (Definição de domínio)

 Um anel não nulo comutativo R é chamado de domínio sse não tem divisores nulos; ou seja, \forall a, \ b \in R, a \cdot b = 0_{R} \Leftrightarrow a = 0_{R} \vee b = 0_{R}.

Teorema 3: (Lei de Cancelamento para Domínios)

Deixa que R seja um domínio e deixa que a, \ b, \ c \in R tal que a \neq 0_{R}, e que ou a \cdot b = a \cdot c ou b \cdot a = c \cdot a. Então b = c.

Demonstração: Considera a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow a \cdot b - a \cdot c = 0_{R} e então a \cdot (b-c) = 0_{R} . Como R é um domínio, ou a = 0_{R} ou b - c = 0_{R} . Por hipótese, a \neq 0_{R} e então b - c = 0_{R} \Leftrightarrow b = c. A demonstração é parecida para o caso b \cdot a = c \cdot a e então b = c \square .

No próximo post, vou introduzir o conceito de corpo e ainda fazer um pouco mais com estas definições: vou provar que se R for um domínio finito então R é um corpo e assim estabelecer algumas igualdades para casos simples. Vou também dar mais exemplos de corpos, domínios, anéis de divisão e anéis com unidade.

___________
(1) Nalguns livros de referência, o axioma (R3) não é incluido.

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