Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #9)

Este é o nono post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. Tenho estado a tentar introduzir mais intuição para que possamos finalmente provar que o grupo simétrico é mesmo um grupo, com toda a estrutura que já introduzi.

Para provarmos que o Sym(\chi) é um grupo, já sabes: há que definir uma operação binária \circ que transforme o par (g_{1},g_{2}), \ g_{1}, \ g_{2} \in G num elemento g_{1} \circ g_{2} \in G. Que operação podemos introduzir de maneira a que se produza uma estrutura de um grupo?

A operação binária “composição de permutações

Se compreendeste a operação binária “composição de rotações”, esta vai ser fácil. A operação que vou usar para tornar  Sym(\chi) num grupo vai ser a seguinte: para todos os elementos \alpha, \ \gamma do conjunto Sym(\chi) define \alpha \circ \gamma como “aplica a permutação \gamma seguida da permutação \alpha.”

Percebeste a ideia? É muito parecida com o nosso grupo de rotações: define um conjunto de transformações (rotações, permutações, reflexões, etc) e define um objecto onde vais aplicar estas transformações; depois só tens de definir como aplicar uma operação entre estas transformações.

No grupo de rotações do quadrado, o conjunto R_{90^{\circ}} era o conjunto de todas as rotações de 90º possíveis no quadrado. A que objecto aplicaste as rotações? Aos vértices [A,B,C,D]. Que operação definiste? A composição de rotações: para g,h , g \circ h é o mesmo que “aplicar rotação h e depois aplicar rotação g.

Daqui podes deduzir que a operação “composição de permutações” é apenas a acção “aplicar permutação após permutação”. Que objecto pensas que estamos a usar quando aplicamos uma permutação? É o conjunto inicial X_{n} = \{1,2,3,4,5,...,n \}. (1)

Questão: será que o produto de duas permutações é sempre uma permutação?
Deverias dizer que sim mesmo não sabendo, porque sabes a priori que este grupo simétrico é mesmo um grupo com esta operação e sendo um grupo a sua operação binária tem de tornar o conjunto completo ou fechado. O próximo teorema vai dar uma resposta afirmativa quanto à completude de Sym(\chi). Vamos primeiro provar um resultado que vai auxiliar a demonstração de que a operação de composição de permutações faz o grupo de permutações ser um grupo completo.

Teorema 1: (O produto de duas bijecções é uma bijecção).

Isto faz sentido mesmo que não soubesses a resposta. Se há uma relação 1 \leftrightarrow 1 entre dois conjuntos X e Y, e outra relação 1 \leftrightarrow 1 de Y para Z então certamente que podes encontrar uma relação 1 \leftrightarrow 1 de X para Z.

Podes sempre criar um mapa bijectivo sabendo que há duas funções: compondo as duas bijecções. Tenta entender a demonstração: acho que deveria chamar esta bijecção como a bijecção canónica, visto que é sempre existente. Há mais bijecções possíveis mas a demonstração refere a existência de pelo menos uma. Definimos uma bijecção que funciona sempre, dada duas bijecções. Não achas que foi por isso que escolhemos a operação binária para ter esta propriedade?

Demonstração: Deixa que X, \ Y, \ Z sejam conjuntos e \phi : X \rightarrow Y e \pi : Y \rightarrow Z sejam  mapas bijectivos. Deixa que x \in X e y \in Y. Como x \in X \Rightarrow \exists! y \in Y tal que \phi(x) = y. De modo similar, para y \in Y \exists! z \in Z | \pi(y) = z. Define o mapa \eta : X \rightarrow Z de modo a que \pi \circ \phi , \eta (x) = \pi \circ \phi (x) = \pi ( \phi(x)). Isto implica que \exists! z \in Z | \eta(x) = z e então \eta(x) é uma bijecção. \square.

Usando o facto do Corolário 1 do post passado, sabemos que toda a permutação é um produto de transposições. Deixa que \rho, \sigma \in Sym(\chi).  Então estas duas permutações podem ser escritas em como produto de transposições e portanto o seu produto é de novo uma permutação.

Em geral, o que acabamos de provar é simples de se perceber: se baralhares um baralho de cartas por uma primeira e vez, e o baralhares por mais outra ronda, existe sempre uma maneira de baralhar directamente de como estava inicialmente para como estava após teres baralhado duas vezes: continua a ser uma permutação.

Agora um pouco de lógica e memória faz adivinhar o próximo resultado: lembras-te de como uma permutação era um mapa bijectivo especial (do conjunto inicial para ele mesmo)? Então é fácil entender que temos o resultado desejado: o conjunto de permutações é fechado sobre a operação que defini.

Corolário 1: (O produto de duas permutações é uma permutação)

Demonstração: Como uma permutação arbitrária \rho é sempre um mapa bijectivo, pelo teorema 1 sabemos que o produto (composição) de duas bijecções é de novo uma bijecção e portanto a composição de duas permutações é uma permutação \square.

Exemplo

Este exemplo vai talvez elucidar-te de tudo o que provei. Vamos ver como funciona esta operação com um exemplo concreto:

Deixa que \sigma \in Sym(\chi) = \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  3 & 2 & 1 & 5 & 4  \end{pmatrix} e que \rho \in Sym(\chi) = \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  2 & 5 & 4 & 3 & 1  \end{pmatrix}.

Então repara: \sigma pode ser decomposta nos seus ciclos: \sigma = (13)(45). Do mesmo modo, \rho pode ser decomposta nos ciclos (125)(34). Calculando \sigma \rho = \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  2 & 4 & 5 & 1 & 3  \end{pmatrix}, que pode ser escrita como o produto dos ciclos (124)(35) – de novo uma permutação.

Qual será a inversa de \sigma, \sigma^{-1} ? Em notação de ciclos ela é facil! (13)(45)^{-1} = (54)(31).

Talvez te tenhas apercebido que a inversa de um produto tem uma fórmula que pode não parecer acessível ao ínicio: (\sigma \rho)^{-1} = \rho^{-1} \sigma^{-1}. O exemplo mais dado para entender o método é este : vestindo uma camisa e um casaco, desfazer a acção resulta em i) desfazer a acção de vestir o casaco (ou seja, tirá-lo) e ii) depois retirar a camisa. Esquematicamente:

(\underbrace{\underbrace{g}_{vestir \ casaco} \circ \underbrace{h}_{vestir \ camisa}}_{vestir \ camisa \ e \ depois \ casaco})^{-1} = \underbrace{\underbrace{h^{-1}}_{despir \ camisa} \circ \underbrace{g{-1}}_{despir \ casaco}}_{despir \ casaco \ e \ depois \ camisa}

Como último reparo, talvez percebas agora a maneira (inteligente) de como se introduziu a notação de permutação. Considerando as permutações dos vértices de um triângulo (que representam todos os elementos de S_{3}) e que eu introduzi no post passado:

Aplicando o método que introduzi no post passado, vai rodando a cada 60^{\circ}, fixando um ponto e trocando os dois restantes. Faz a ligação da transformação que fizeste com a permutação que é escrita. Faz sentido, não faz?

Estamos agora em condições de provar o resultado principal para o grupo simétrico Sym(\chi): que é um grupo.

Teorema 2: (O grupo simétrico Sym(\chi), equipado com a operação binária composição de permutações, forma um grupo)

Para verificar que o grupo simétrico é um grupo, há que verificar os axiomas (G1),(G2),(G3),(G4).

  • (G1) ( \forall \sigma \rho \in Sym(\chi), \sigma \circ \rho \in Sym(\chi). )
    Acabámos de o provar. Sabemos que o grupo é fechado sobre a sua operação.
  • (G2) (\forall \sigma, \rho, \alpha \in Sym(\chi), (\sigma \circ \rho ) \circ \alpha = \sigma \circ (\rho \circ \alpha )
  • (G3) (\forall \sigma \in Sym(\chi), \exists e \in Sym(\chi) | \sigma \circ e = \sigma). Que permutação poderá ser esta?  É rápido, é básico! e =. \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & ... & n\\  1 & 2 & 3 & ... & n  \end{pmatrix}
  • (G4) (\forall \sigma \in Sym(\chi), \exists \sigma^{-1} \in Sym(\chi) | \sigma^{-1} \circ \sigma = \sigma \circ \sigma^{-1} = e). Usando uma lógica semelhante à rotação de quadrados, sabemos que tal inversa pode ser definida em termos gerais: dada uma permutação \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 & ... & n\\  \phi(1) & \phi(2) & \phi(3) & ... & \phi(n)  \end{pmatrix} então constrói a permutação inversa da seguinte maneira: decompõe a permutação em ciclos e inverte-os, como acabei de mostrar com um exemplo. Existem vários métodos de computar a inversa mas todos assumem mais conceitos de Combinatórica. Este é suficiente.

… e Sym(\chi), com a operação “composição de permutações, forma um grupo.

Teorema 3: (O grupo simétrico Sym(\chi) não é abeliano: \sigma \circ \rho \neq \rho \circ \sigma.)

Este é o primeiro grupo que introduzi até agora em que a ordem de multiplicação dos elementos conta.

Exemplo:

\alpha = \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3\\  2 & 1 & 3  \end{pmatrix}

\beta = \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3\\  3 & 1 & 2  \end{pmatrix}

então \alpha \beta = \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3\\  1 & 3 & 2  \end{pmatrix} e \beta \alpha = \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3\\  3 & 2 & 1  \end{pmatrix} . Daqui segue que \alpha \beta \neq \beta \alpha e o grupo simétrico não é comutativo ou abeliano.

No próximo post vamos falar de subgrupos: grupos que acontecem estar dentro de um outro grupo. Vamos possivelmente reparar que a ordem de um subgrupo não pode ser qualquer uma – existe sempre uma relação que tem de ser verificada. Com isto em mente, será mais fácil construir o grupo de todas as simetrias de um quadrado (ou polígono regular com n lados).

_________________
(1) Esta ideia corresponde em larga escala ao conceito de acção de um grupo. Uma acção é uma função G \times X \rightarrow X tal que:

  • (gh) \circ x = g \circ ( h \circ x) \forall g, \ h \in G, \ x \in X
  • e \circ x = x

Vou ter a oportunidade de falar mais sobre acções sobre grupos mais adiante.

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