Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #10)

Este é o décimo post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. Nos últimos posts tivemos a oportunidade de criar, com um pouco de arte e engenho, certos conjuntos e certas operações definidas nesses mesmos conjuntos que fizessem esses pares conjunto-operação estruturalmente um grupo.

Nunca te passou pela cabeç a ideia de… um grupo dentro de um grupo?  Esta ideia parece muito filosófica, complicada mas, se formos construindo exemplos suficientemente simples, a intuição nascerá.

Grupos dentro de grupos: um exemplo

Deixa que Z represente os números inteiros relativos : \{...,-2,-1,0,1,2,... \}. Sabemos que este conjunto é infinito: |Z| = \infty. Vamos tomar como nossa operação binária a soma de números inteiros relativos, a nossa soma normal. Consegues pensar num grupo que pertença ele mesmo a Z ?

Exemplo: todos os números pares.

Porquê? Se tiveres um número par somado a um número par (que pertencem a Z), o seu resultado é um número par. A inversa é dada pela inversa do grupo Z e a identidade é a mesma que Z, e = 0. Repara que 0 é um número par, ele tem de pertencer a este grupo dentro do grupo! Como a soma é sempre associativa, certamente que será associativa para estes elementos neste subconjunto.

Agora que percebeste a ideia, vamos formalizar. Primeiro precisamos das definições.

Talvez fosse melhor que introduzisse notação para algo que ainda não desenvolvi muito: o conceito de subconjunto.

Todos os elementos de B pertencem tambem a A. Diz-se então que B é um subconjunto de A, B \subset A, De modo semelhante, todos os elementos em C pertencem a B e então diz-se que C é um subconjunto de B, C \subset B. Evidentemente que se C \subset B, B \subset A, então C \subset A. Trabalharemos nestas relações de equivalência mais tarde.

Definição 1: (Definição de subconjunto)

Deixa que A e B sejam dois conjuntos. Se \forall x \in B \Rightarrow x \in A, diz-se que B é um subconjunto de A e escreve-se B \subset A.

Reparo 1: Esta definição diz algo trivial: que para qualquer conjunto B, B \subset B – um conjunto é sempre um subconjunto de si mesmo. Por essa mesma razão, é talvez mais frequente ver o símbolo \subseteq ser usado, em vez de \subset. Ambos são equivalentes por essa mesma razão.

Reparo 2: Um subgrupo de A, B tem de o ser com a mesma operação binária. É possível encontrares um grupo com uma operação binária e encontrar um subconjunto que seja um subgrupo em relação a uma outra operação binária. Este não é um subgrupo de A com respeito à sua operação binária. Lembra-te: a operação binária é mantida quando tentamos encontrar subgrupos.

Definição 2: (Definição de subgrupo)

Deixa que G seja um grupo com a sua operação binária \circ. Um subconjunto H \subseteq G , com a mesma operação binária forma um subgrupo em G se as seguintes condições forem verificadas:

  • (H1) Completude – \forall h_{1}h_{2} \in H, h_{1} \circ h_{2} \in H
  • (H2) Inversas – \forall h \in H, \exists h^{-1} \in H tal que h^{-1} \circ h = h \circ h^{-1} = e

Notação: se B é um subgrupo de A, então escreve-se B \leq A. (2)

Porque não coloquei os quatro axiomas (G1),(G2),(G3),(G4) ? Se pensares no que disse, tens a resposta: a propriedade da associatividade é verificada para todos os elementos de G. Como todos os elementos de H estão em G, a associatividade tem de lhes ser aplicada também.(1). Como num grupo tem de existir um elemento identidade, sabemos que e_{G} (a identidade do grupo G) tem de estar no subgrupo H. O que vamos ver mais tarde é que, pela unicidade da identidade que provei neste post, a identidade do subgrupo H, e_{H} = e_{G}.

Resumindo: dois axiomas são sempre verificados para qualquer subconjunto de G. O que o faz um subgrupo é o facto de que operando qualquer dos seus elementos produz um elemento de novo em H e que a inversa que (necessariamente) existe em G está contida em H.

Os pares revisitados

Sabemos que, se somares qualquer número na linha com outro qualquer na linha, obterás um resultado que está de novo na linha. É por isso que Z é um conjunto fechado sobre a adição. Será que se pegares apenas nos números pares (bola branca) , vais obter de novo um número com bola branca? Será que há sempre inversa para estes números?

Vamos definir este conjunto dos números inteiros pares:

2Z = \{ x \ | \ x=2m, \ m \in Z \}. Esta definição lê-se: o conjunto 2Z é o conjunto de todos os números x tal que x é escrito como um produto de dois factores: o número 2 e um número m que pertence aos números inteiros relativos. Espero que percebas que esta definição é mesmo o que precisamos: todos os números pares estarão neste conjunto, e mais nenhum outro elemento que não esses.

Repara:

0 = 2 \times 0, 0 \in Z. logo 0 \in 2Z

2 = 2 \times 1, 1 \in Z. logo 2 \in 2Z

20 = 2 \times 10, 10 \in Z. logo 20 \in 2Z

-4 = 2 \times -2, -2 \in Z. logo -4 \in 2Z

… e podes ir continuando. Esta pequena introdução de notação vai fazer a diferença: vamos mesmo provar que os números pares formam um grupo por eles mesmo, dentro do conjunto de todos os números inteiros relativos.

Teorema 1: (O conjunto 2Z, com a operação binária + forma um subgrupo de Z com a mesma operação binária)

Demonstração: Primeiro provamos que 2Z \subseteq Z. Considera x \in 2Z. Por definição, x = 2 \times m para algum m \in Z. Como sabemos que Z é um grupo sobre multiplicação, sabemos que 2 \in Z e m \in Z \Rightarrow 2 \times m \in Z. Provámos que 2Z \subseteq Z.
Para provar que forma um subgrupo, há que verificar (H1) e (H2).

  • (H1) – Deixa que x = 2m, \ m \in Z e y = 2k, \ k \in Z. Então aplicando + a x e y, tem-se que x + y = 2m + 2k = 2 (m + k). Como m, k \in Z, \ \Rightarrow m + k \in Z, visto que Z é um grupo sobre a adição. Chama este número m + k = n. Então x + y = 2 \times n, \ n \in Z. Logo x + y \in 2Z e 2Z é fechado sobre adição.
  • (H2) – Deixa que x = 2m, \ m \in Z. Como se sabe que se m \in Z \Rightarrow -m \in Z, define o número -x = 2 \times (-m). Certamente que -x \in 2Z e que x + (-x) = 2m + (2(-m) = 2(m + (-m)) = 2(m-m) = 2 \times 0 = 0 que é a identidade e_{G} = e_{H} = 0. Provei a existência (única) de inversa para todos os elementos de 2Z.

… e então 2Z é um subgrupo de Z sobre adição \square.

Se consegues generalizar coisas facilmente, que pensarias generalizar neste exemplo? Certamente que podes dividir Z em 2 (par e ímpar), em 3, em 4, …., em n. Quero eu dizer:

Teorema 1:

\forall n \in Z, nZ \leq Z, sobre adição.

Acho que se tens estado a entender o que tenho desenvolvido, podes pegar na demonstração que usei para 2Z e aplicá-la para qualquer número inteiro n. As modificações necessárias são mínimas!

No próximo post vamos dar mais exemplos de subgrupos para casos mais “exóticos”.

_______________
(1) Isto é dedução lógica: Se todos os homens são mortais e Sócrates é homem então Sócrates é mortal.

(2) Não confundas esta notação com a ordem de números reais. 2 \leq 4 aplica-se a números reais e lê-se “2 é menor ou igual a 4$. Quando a relação é aplicada a grupos, B \leq A lê-se “B é um subgrupo de A” e não o primeiro. A mesma notação é usada para fins diferentes e que não são relacionados.

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