Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #8)

Este é o oitavo post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. Que fizemos até agora então? Em resumo: definimos um conjunto, falámos sobre o conceito de completude de um conjunto (sobre uma operação binária), de associatividade e falámos ainda da propriedade de existência de inversas e de identidades.

Com estas propriedades em mente, criámos um objecto chamado grupo, que não é mais que um par de um conjunto e uma operação binária com 4 propriedades ( (G1),(G2),(G3) \ e (G4) ) . Se não te recordas destes quatro axiomas, clica aqui.

Dei três exemplos de estruturas que se conformam a esta definição. Falei de um grupo muito simples, o grupo de rotações de 90º num quadrado. Prometi que iria expandir mais e criar um verdadeiro grupo que represente todas as simetrias que podem ser encontradas num quadrado (e por generalização em qualquer polígono regular com n lados). Vamos deixar este grupo para mais depois e vamos concentrar-nos em algo mais intuitivo. (Surpresa das surpresas, a estrutura que vou descrever é um grupo).

Antes de começar, um novo conceito rápido: o de ordem de um grupo.

Definição 1: (Definição da ordem de um grupo G).

Um grupo G tem ordem n se o seu conjunto G tiver n elementos. A ordem de um grupo escreve-se |G| = n. Se G tiver infinitos elementos, o grupo é chamado de infinito e escreve-se |G| = \infty.

Esta é daquelas definições que seguramente entendeste á primeira. Como exemplos, posso dar:

  1. (N, +) (O conjunto dos números naturais com a operação de adição) tem |N| = \infty. (1)
  2. (Z_{2}, +_{2}) (O conjunto dos números inteiros mod n com a operação de adição em módulo 2.Esta requer duas linhas, vais ver que é fácil:Z_{2} = \{0,1 \} . Repara que se este par de conjunto e operação é mesmo um grupo, ele tem de ser fechado. Conclusão: das 2 \times 2 = 4 possibilidades de operares, 2 vão ter de ser necessariamente iguais! Calculemos:0 + 0 (mod \ 2) = 0 (mod \ 2) = 0 (lembra-te, 0 é par!)
    1 + 0 (mod \ 2) = 1 (mod \ 2) = 1 ( 1 é ímpar!)
    0 + 1 (mod \ 2) = 1 (mod \ 2) = 1 (2)
    1 + 1 (mod \ 2) = 2 (mod \ 2) = 0 (2 é par. Alternativamente, 2 = 2 \times 1 + 0… e então (Z_{2}, +_{2}) é um grupo. Que ordem tem ele? Bem, |Z_{2}| = 2 . (3)
  3. O nosso grupo R_{90^{\circ}} = \{ e,a,a^2,a^3 \} tem, como podes deduzir, |R_{90^{\circ}}| = 4

O Grupo Simétrico Sym(\chi)

Definição 2: (Definição de grupo simétrico)

O grupo simétrico Sym(\chi) ou S_{n} ( em que n = | \chi | é o conjunto de todas as permutações possíveis de se fazer com todos os elementos do conjunto \chi, equipado com uma operação binária chamada de composição de permutações.

Quanto o grupo é dado por \chi = \{ 1,2,3,4,5,...,n \} o grupo simétrico escreve-se S_{n}. Esta diferença é por precisão de notação, pois neste artigo verás que o que importa desde conjunto \chi é so mesmo o seu número de elementos. É intuitivo o que eu digo: permutares letras, números, bolas ou nomes de carros tem o mesmo valor para todos: é a mesma operação “disfarçada”.

Desmistificando: ao aplicares uma operação muito parecida com a que usámos na definição do grupo de rotações do quadrado ( aqui ) no conjunto de todas as permutações de todos os elementos de um certo conjunto, este par de conjunto e operação binária vão formar um grupo.

Um exemplo muito simples: Deixa \chi = \{ Verde, Azul, Vermelho \}
O grupo simétrico de \chi , Sym(\chi) é igual a \{ (Verde, Azul, Vermelho), (Verde, Vermelho, Azul), (Azul, Verde, Vermelho) (Azul, Vermelho, Verde), (Vermelho, Verde, Azul),  (Vermelho, Azul, Verde) \}

A diferença de notação é visível: \{ A,B,C \} = \{ A,C,B \} porque se tratam de conjuntos e o que importa é apenas aquilo que contêm e não a sua ordem. Já com (A,B,C) \neq (B,C,A) pois são permutações e claro que os seus efeitos são diferentes pois são mapas diferentes. Veremos o que quero dizer.

Por conveniência, vou também definir o conjunto X_{n} = \{ 1,2,3,4,...,n \}.

O que é uma permutação?

Uma palavra mais cara do que o que vale. É fácil, vais reparar. Como um exemplo leve: vamos escrever explicitamente os 3! = 3 \times 2 = 6 elementos que fazem parte do grupo simétrico de ordem 3, S_{3}.

Repara na imagem:

Ou seja, uma permutação é uma combinação possível dados n elementos. Escrevendo explicitamente todas as permutações de três elementos (que, afinal de contas é o que esse triângulo representa) (2), temos que as permutações de A,B,C são: (A,B,C),(A,C,B), (C,A,B), (C,B,A),(B,A,C),(B,C,A)

Podes pensar, por exemplo, numa estante de livros. Pensa nos 10 livros na estante do teu quarto. Pensa agora em todas as possibilidades de reordenação. Achas que seriam muitas, poucas? Se te dissesse que se tivesses 1 segundo para alterar por cada ordem, terias de o fazer 24 / 24h por 42 dias? Pensa, são muitas possibilidades! São 10! = 3628800 possibilidades.

Um ponto de exclamação numa expressão numérica? Que poderá representar?

Definição 3: (Definição de factorial)

n! lê-se “n factorial” ou “o factorial de n”. Representa a quantidade n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ ... \ \times 2 \times 1.

Como exemplos, tem-se que 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ou 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040. Estou certo que entendes que 1! = 1. Será que é  possível definir o factorial de 0 ? Sim: 0! = 1. Porquê?  Intuitivamente, porque tens apenas 1 maneira de organizar um conjunto vazio: nele mesmo. (4)

Um matemático gosta de encontrar o padrão e estabelecer a generalização. Muitas vezes é da intuição que nasce conhecimento:

Será que podes inferir |S_{n}|= n! desta tabela? Não! Verificaste que a relação é verdadeira para 1,2,3,4,5 mas não sabes sobre o resto. Pode bem ser, e parece que o é.
Vamos provar.

Demontração 1: (A ordem do grupo simétrico de nível n é igual a n!)

 |S_{n} |= n!

Começa com n lugares vazios, e n elementos que vão ser permutados nessas posições. Coloca qualquer um no primeiro lugar. Então há n possibilidades para o primeiro lugar. Com o primeiro elemento no primeiro lugar fixo, coloca mais um elemento no segundo lugar. Seguramente que há n-1 possibilidades de a colocar lá (todos os elementos menos o primeiro que está fixo no primeiro lugar). Para o terceiro lugar, haverá (n-2) possibilidades. Continua o processo até só teres um elemento para colocar num lugar. Este tem de ir para o último necessariamente, logo há apenas 1 possibilidade. O número de todas as possibilidades tem de ser o produto de todos estes factores: \underbrace{n}_{1^{\circ} \ lugar} \times \underbrace{(n-1)}_{2^{\circ} \ lugar} \times \underbrace{(n-2)}_{3^{\circ} \ lugar} \times \ ... \ \times \underbrace{2}_{(n-1)^{\circ} \ lugar} \times \underbrace{1}_{n^{\circ} \ lugar}

Logo, |S_{n}| = n! \ \square

Será que é o grupo simétrico é um grupo? Não te esqueças: isto não é pedântico. Embora possas pensar que “um grupo é um grupo” é sempre verdadeiro, as palavras podem ter significados diferentes. “Grupo Simétrico” podia ter sido genuinamente o nome que álguem se lembrou de chamar a este conjunto. Antes de provar, vou fazer um pequeno reparo para que entendas o que está a ser feito. Que operação está a ser feita sobre este conjunto? O que é esta operação, “composição de permutações” ?

Permutações como uma bijecção X_{n} \rightarrow X_{n}

Agora que já percebeste o que é uma permutação, é melhor tentar definir uma permutação rigorosamente. À medida que for postando mais material avançado poderia concentrar-me em permutações mais decentemente, mas agora vou só introduzir o básico para que entendas a demonstração de que o grupo simétrico é de facto um grupo.

Lembra-te que introduzi a notação X_{n} = \{ 1,2,3,4,5,...,n \} no início do post.

Definição 4: (Definição de uma permutação)

Uma permutação é uma função bijectiva \sigma : X \rightarrow X

O que é que esta definição te diz? Uma permutação é uma função muito especial: considerando qualquer conjunto S, uma permutação altera a ordem dos mesmos elementos dentro do mesmo conjunto S. Informalmente, a cada vez que permutas um conjunto, estás a baralhar os seus elementos.

Porque é que tem de ser bijectiva? Esta é fácil: certamente que quando trocas dois elementos A,B entre si, A \mapsto B, B \mapsto A. Isto quer dizer que cada elemento A \in S tem de ser transformado num outro. Isto quer dizer que a função é sobrejectiva. Como cada lugar apenas pode ter um elemento, a cada elemento transformado há apenas um que o transformou. Isto significa que a função é injectiva. Como vimos no post anterior uma função que é injectiva e sobrejectiva tem de ser bijectiva. Todos os seguintes diagramas são exemplos de permutações para X_{5} = \{ 1,2,3,4,5 \}

Como é que é possível escrever uma permutação? A notação que vamos usar vai ser a seguinte: uma tabela com 2 linhas e n colunas. Escrevendo \alpha como permutação, então \alpha = \gamma é escrita como:

Espero que entendas a notação: em geral uma permutação \phi : X_{n} \rightarrow X_{n} é escrita como:

Existe algo interessante nas permutações que vimos. Existem ciclos – permutações “consecutivas” em que o último elemento é transformado no primeiro.

Repara em \alpha: 1 \mapsto 2 \mapsto 3\mapsto 4 \mapsto 5 \mapsto 1; este caso é um caso extremo: a permutação é o ciclo todo. (6)
Repara agora em \gamma: existem 4 ciclos: 1 \mapsto 5 \mapsto 1, 2 \mapsto 2, e ainda 3 \mapsto 3 e 4 \mapsto 4. Que quer isto dizer? O primeiro ciclo representa uma transposição: a permutação de 2 elementos , um com o outro; os restantes três são permutações “nulas” – os elementos mantêm-se na mesma posição, não sofrendo alteração.

Como representar um ciclo? Nada melhor que veres com um exemplo:

\alpha pode ser escrita em notação de ciclos como (12345) (um ciclo único)

\gamma pode ser escrita em notação de ciclos como (15) : apenas 1 e o 5 permutam (uma transposição) e os restos formam ciclos sobre si mesmos (não se escrevem).

Se pensares sobre o assunto, vais notar que os ciclos têm de ser disjuntos uns dos outros. Isto quer dizer que não pode haver um elemento em dois ciclos diferentes.  Então se assumirmos isto como verdadeiro, já temos uma maneira fácil de calcular o produto de ciclos!

Exemplo: em \sigma = (13) \circ (45) = (13)(45) tem de ser igual à permutação 

Para terminar, vou citar um resultado importante de permutações. Já reparaste que muitos dos ciclos que fomos obtendo eram transposições (permutações de dois elementos, um com o outro). Será que é sempre possível escrever uma permutação como um produto de transposições? A resposta não te deve surpreender (pensa no teorema, ele faz sentido).

Teorema 1:  (Toda a permutação num conjunto \chi pode ser escrita como um produto de ciclos (disjuntos))

\forall \sigma \in Sym(\chi), \sigma = c_{1} \circ c_{2} \circ \ ... \ \circ c_{n} , c_{i} sendo ciclos disjuntos.

Teorema 2:  (Toda o ciclo c \in \chi pode ser escrito como um produto de transposições.)

\forall c \in Sym(\chi) C = \tau_{1} \circ \tau_{2} \circ \ .... \ \tau_{n} , \tau_{i} sendo transposições

O resultado, como corolário, segue:

Corolário 1: (Toda a permutação num conjunto \chi pode ser escrita como um produto de transposições)

Vou falar mais sobre permutações no próximo post e vou também mostrar que este grupo (depois de provar que o é) é o primeiro que trabalhámos aqui que não é abeliano. Aplicar uma duas permutações em ordens diferentes resulta em respostas diferentes.

___________

(1) – Pela última vez relembro-te que quando digo |N| = \infty estou a falar de um grupo e um grupo, por definição, é equipado de uma operação binária. Neste caso, a operação binária não influencia em nada o número de elementos do conjunto; é apenas um reparo técnico.

(2) Porque é que o resultado é igual? Porque é que 0 + 1 = 1 +0 mod (n). Que tal uma sugestão? (a + b) (mod \ n) = a (mod \ n) + b (mod \ n)

(3) Em geral, como dever ter adivinhado, |Z_{n}| = n.

(4) Rigorosamente falando, porque é um resultado que segue da generalização de factoriais a números complexos. Lê mais sobre a Função Gama aqui

(5) Se tivesses numa sala e tivesses de cumprimentar toda a gente com um aperto de mão, n pessoas, quantos apertos de mão seriam necessários ser dados?

(6) Estamos a dizer qualquer coisa inteligente, mesmo que fácil de se ser apercebida: acabámos de afirmar que o grupo de permutações de um triângulo tem a mesma estrutura que o grupo de permutações de 3 elementos A,B,C. Será que dá para provar? Haveremos de provar que se dois grupos têm o mesmo número de elementos, então o seu grupo simétrico tem de ser essencialmente o mesmo. Simbolicamente: se G,H são grupos, e |G| = |H| =n então Sym(G) \cong Sym(H) .

(7) Não confundas a notação de ciclos com uma permutação em si. (A,B,C) significa a ordem A,B,C. Já a notação de ciclos (123)(45) quer dizer : ” 1 \mapsto 2, \ 2 \mapsto 3 e 3 \mapsto 1 e 4 \mapsto 5, \ 5 \mapsto 4.

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