Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #7)

Este é o sétimo post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. Recapitulando do post anterior : provámos que se tivermos o conjunto de todas as rotações R_{90^{\circ}} possíveis de 90º num quadrado, aplicando uma operação chamada de “composição de rotações”, esta estrutura vai obedecer às regras que a tornam num grupo.

Até poderíamos ter dito algo mais: neste caso, \forall g_{1}, \ g_{2} \in R_{90^{\circ}}, se definir o ângulo de rotação de g_{1} como A e o de g_{2} como B então \underbrace{g_{1} \circ g_{2}}_{roda \ B + A} = \underbrace{g_{2} \circ g_{1}}_{roda \ A + B} . Isto quer dizer que neste caso, alterar a ordem dos elementos não altera o resultado final . Porquê?

Intuitivamente, rodares os vértices um ângulo A e depois um ângulo B representa o mesmo que rodares os vértices um ângulo B e depois rodar um ângulo A.

Rigorosamente (esta é sempre a melhor opção): Implica uma coisa: vamos provar.

Vamos primeiro introduzir mais uma definição primeiro:

Definição 1: (Definição de operação binária abeliana)

Um grupo (G, \circ) em que \forall g, \ h \in G se tenha g \circ h = gh = hg = h \circ g chama-se abeliano ou comutativo.

O que esta definição nos dá: a ordem dos elementos dentro de um grupo abeliano ou grupo comutativo não interessa. A associatividade é sempre garantida pelos axiomas mas a comutatividade do grupo é algo que raramente acontece (são numa certa perspectiva grupos “ideais”). Obviamente que os primeiros exemplos de grupos que vou dar vão ser estritamente focados em grupos abelianos. Há ainda pouca intuição com este conceito de comutatividade.

Com esta ideia em mente, vamos provar que, de facto, o produto de duas rotações é comutativo.

Demonstração 1: (O produto de duas rotações é comutativo)

Assume que g \in R_{90^{\circ}}. Então, como vimos há pouco, todos os elementos g \in R_{90^{\circ}} podem ser escritos como a expressão a^{k}, k \in Z. Ora repara: R_{90^{\circ}} = \{e,a,a^{2},a^{3} \} = \{a^{0},a^{1},a^{2},a^{3} \}. A pergunta natural de se fazer: como é que eu posso fazer corresponder n números para apenas 4 elementos? Será que é sempre possível?

A resposta tem de ser: temos de ser espertos (de novo). Vamos tentar arranjar um padrão que GARANTA que tal correspondência.

  • Se n for um múltiplo de 4, então n = 4m, \ m \in Z, \ n \mapsto 0
  • Se n for um múldiplo de 4, mais 1, então n = 4m + 1, \ n \mapsto 1
  • Se n for um múltiplo de 4, mais 2, então n = 4m + 2, \ n \mapsto 2
  • Se n for um múltiplo de 4, mais 3, então n = 4m + 3, \ n \mapsto 3

Lembras-te do conjunto Z_{n} = \{0,1,2,3,...,n-1 \} ? Consegues perceber o que eu fiz? Eu consegui criar um mapa (sobrejectivo) (1)  de Z \rightarrow Z_{4} Repara que agora, com esta “partição” que fiz em todos os números x \in Z, tenho a certeza que TODOS os elementos vão pertencer a um e apenas um destas “subclasses” (2).

Logo, o que disse antes foi uma boa estimativa. Acabei de provar que qualquer rotação g \in R_{90^{\circ}} pode ser escrita como g = a^{k}.

Estamos no ponto de provar.
Deixa que g, h \in R_{90^{\circ}}. Se g = h então não temos nada a provar porque gh = gg = hh = hg; então as rotações comutariam. Vou então assumir que g, \ h \in R_{90^{\circ}} sejam duas rotações diferentes.

Pelo que acabei de provar, podes agora escrever g = a^{k}, para algum k \in Z e posso, igualmente, escrever h = a^{l} para um certo outro número l \in Z. Ao tirar o produto dos dois, repara que:

g \circ h = gh = a^{k} \circ a^{l} = a^{k+l} = a^{l+k} =a^{l} \circ a^{k} = hg. Como g e h foram escolhidos arbitrariamente, a proposição está provada para todos os elementos (\forall g \in R_{90^{\circ}}) e o grupo de rotações sobre a operação de composição de rotações é abeliano. \square

 

Uma pequena digressão sobre mapas e funções (motivação)

Este mapa que eu criei entre Z e k + Z um dos mapas mais importantes em toda a Álgebra. Em termos gerais, eu criei um mapa que particionou todos os elementos num “subconjunto” Nem todos estes conjuntos são grupos em mérito próprio, mas o conjunto de todos estes subconjuntos é um grupo, com a operação “multiplicação de classes laterais”. Chama-se o grupo quociente de \frac{Z}{4Z} . Não te preocupes: vamos ainda criar mais intuição para perceber o que são estas classes.

Vamos fazer uma pequena digressão para falar sobre mapas. Estes são como “transformadores”. O mapa recolhe um certo conjunto de elementos e transforma-os noutros, segundo uma certa ordem que lhe é imposta. Estes elementos a que me refiro são arbitrários: podes sempre criar a tua construção mental e tentar criar um mapa que seja bem-definido e que transforme o que criaste noutro elemento.

No entanto, como podes imaginar, existem sempre formas mais informativas ou fáceis de se trabalhar. Em Teoria de Grupos vamos aprender sobre mapas muito importantes, e vamos até mostrar como podemos criar mapas que “preservam” a estrutura de um grupo para outro. Em suma, vamos poder mostrar que existem grupos definidos de maneira diferente mas que possuem a mesma estrutura.

É algo fascinante, não achas? Ao conseguires criar estas funções que preservam a estrutura, vais poder reparar que, se provares algo para um grupo, tu acabaste também de provar para o grupo com a mesma estrutura. Ele está disfarçado mas encontrar tais mapas (ou funções) é complicado por vezes. Precisas apenas de um, mas qual deves tentar? São infinitos na maior parte das vezes… Estas questões serão tratadas mais para depois.

Vamos introduzir primeiro alguns conceitos rápidos de mapas:

  • \phi : A \rightarrow B lê-se: um mapa do conjunto A para o conjunto B.
  • x \in A lê-se: x pertence a A.
  • \phi(x) representa o elemento ao qual x é transformado através de \phi.
  • O conjunto de todos os elementos de A que são transformados em algum elemento de B chama-se o domínio do mapa.
  • De modo semelhante, o conjunto de todos os elementosy de B que têm (pelo menos) um elemento x \in A tal que \phi(x) = y chama-se a imagem do mapa ou o contradomínio do mapa.

Estamos prontos para poder conhecer três tipos de mapas muito importantes em Matemática: o mapa injectivo, sobrejectivo e bijectivo.

Definição 2: (Definição de mapa injectivo)

Um mapa \phi : A \rightarrow B é injectivo se e só se \forall g,h \in S \phi(g) = \phi(h) \Rightarrow g = h

O que quer dizer isto? Não pode haver dois valores x, y \in A para os quais \phi (x) = \phi(y). Geometricamente, isto significa que uma linha horizontal só pode tocar \phi uma e uma única vez.

Exemplos de mapas injectivos:
  1. Se A for um conjunto, então o mapa \phi : A \rightarrow A definido por \phi(x) = x é um mapa injectivo. Porquê? Se tiveres \phi(x) = \phi(y) tens de ter x = y (aqui nem tens de verificar a condição, pois \phi(x) = x ). Este mapa chama-se o mapa identidade.(3)

  2. Se R for o conjunto dos números reais, então o mapa E : R \rightarrow R definido por E(x) = e^{x} é injectivo também. Repara olhando para o gráfico – tenta desenhar linhas horizontais, quantas tu quiseres; elas apenas vão cruzar o gráfico uma e só uma vez:

  3. Lembra-te: não tens de necessariamente aplicar uma fórmula (“regra”) aos elementos. Podes simplesmente mostrar a relação com setas por exemplo. Repara como a definição de injectividade é verificada. \forall y,g \in Y se f(y) = f(y) = f(g) \Rightarrow y = g.

Definição 3 (Definição de mapa sobrejectivo)

Um mapa \phi : A \rightarrow B é sobrejectivo se e só se \forall g\in B \exists x \in A \ | \ \phi(x) = y

Informalmente, o que esta definição te diz é que, para todos os elementos do conjunto B tem de haver (pelo menos) um elemento em A de maneira que esse elemento seja transformado no elemento de B que escolheste. Com esta definição presente ( e a de mapa injectivo), analisa a seguinte imagem (vamos definir \phi : X \rightarrow Y e \psi : Y \rightarrow Z ).

Questão natural de perguntares: para que servem estas definições? Bem, se conseguires construir mentalmente um mapa que seja injectivo e sobrejectivo, ele é muito especial. Muito especial mesmo; merece ter o seu próprio nome.

Definição 4 (Definição de mapa bijectivo)

Um mapa \phi : A \rightarrow B é bijectivo se e só se \phi é injectivo e sobrejectivo.

Alguns matemáticos começam por definir o mapa bijectivo como tal. Outros gostam de pegar na sua definição abstracta e depois provar que sempre que um mapa é bijectivo ele é sempre sobrejectivo e injectivo. É tudo uma questão de gosto, no final.

O que tens de reter desta definição é que as funções bijectivas são as únicas que permitem criar uma relação 1 \leftrightarrow 1    (um para um). Ou seja, cada elemento x \in A vai ser ligado a um e apenas um elemento y \in B e para cada elemento y \in B existe um e apenas um elemento x \in A que lhe é ligado.

Exemplos de funções bijectivas:

Lembras-te do mapa identidade i_{X}? Será que com estes dados agora é mais fácil perceber porque tem de ser uma bijecção? (Não achas que é a bijecção mais fácil de encontrar?)

(Questão) No post passado provei que a inversa de um elemento g \in G é única para cada g. Será que então o mapa Inv : G \rightarrow G dado por Inv(g) = g^{-1} é injectivo? Que tal sobrejectivo? Já que (g^{-1})^{-1} = g (a inversa da inversa de um elemento é ele mesmo) , será que podes dizer mais sobre este mapa?

Neste post não avançámos muito em Teoria de Grupos. É bom que te habitues a pensar eficientemente nestes mapas e que consigas entender a notação. Este tipo de funções vão ser importantes em toda a Álgebra Abstracta (mesmo em Teoria de Categorias, onde estes conceitos de mapa são mais avançados e dados por epimorfismos, isomorfismos, homomorfismos… Nada disto é importante por enquanto. Vamos usar estes conceitos nos próximos posts para poder definir que propriedades um mapa tem de ter para “preservar a estrutura de dois grupos”.

Até lá.

___________

(1) De facto, um mapa corresponde a um dos objectos mais básicos de toda a Matemática e Lógica Proposicional. Um ramo de Álgebra Abstracta, chamada de Teoria de Categorias, trabalha com esses conceitos a um nível demasiado avançado, estando no pódio das áreas mais abstractas e gerais que o Homem já pôde construir. Aqui no Reino Unido, apenas a Universidade de Cambridge faz este curso durante o 4º ano. As restantes apenas para depois do PhD!

(2) Estes subconjuntos, como lhes chamei, são classes laterais (acabei de ver agora no dicionário! Não chegava lá já! Em Inglês são chamados de cosets). Vamos ter um quanto trabalho com estes mais tarde.

(3) Este é o mapa injectivo que consigo pensar. Repara que cada elemento é transformado… nele mesmo. Como o conjunto A contém elementos diferentes, é intuitivo de esperar que “se são diferentes em A e são transformados neles mesmos, então seguramente que \phi(x) = \phi(y).

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