Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #6)

Este é o sexto post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. No post passado, fi-lo. Acabei mesmo por definir um grupo, um objecto abstracto que é muito importante em toda a ciência e matemática teórica. Dei também um exemplo de um grupo que – estou seguro – não há de ter sido muito intuitivo de ínicio. Se ajuda, tenta agarrar um quadrado de cartão e tenta ir rodando: para teres todas as simetrias por rotação só precisas de ir rodando 90^{\circ} a cada vez.

Vimos também que todos os 4 elementos tinham uma inversa (que, de novo, estava no conjunto R_{90^{\circ}}. Questão natural de se perguntar:

Se a representa uma rotação de 90^{\circ}, seguramente a inversa de a teria de representar uma rotação de -90^{\circ}, mas no post anterior, chegámos à conclusão de que a^{-1} = a^{3}, que corresponde a uma rotação de 270^{\circ} . Como é que ficamos?

Se te lembrares do que referi no post anterior, saberás que todas as rotações de 90º graus sobre o quadrado serão iguais a uma das quatro rotações base: e,a,a^{2},a^{3}. Isto quer dizer que tens infinitas representações para cada um dos elementos em R_{90^{\circ}}. Portanto podes dizer que a = a^{5} = a^{9} = ... = a^{4n +1} (1) Pensa em n como se fosse o número de voltas de 360º e, como a cada rotações a transformação se anula o que importa é o seu resto. Para uma rotação, esse resto tem de ser 1: daí a relação de 4n +1. (2). Similarmente, esta relação tem de ser verdadeira: e = a^{0} = a^{4} = a^{8} = ... = a^{4n}.

Vamos ter mais a dizer sobre este grupo de rotações em posts futuros. Acontece que podemos generalizar mais e criar um sistema que explica todas as simetrias de um quadrado! Não te esqueças que ainda não trabalhámos com reflexões. Esse grupo de todas as simetrias de um quadrado chama-se o grupo diedral de ordem 8, e escreve-se D_{8}. Tudo a seu tempo.

Reparos sobre Grupos

A partir de agora vou aplicar notação mais eficiente. Vou justificar o porquê.

  • Ainda que formalmente saibamos que um grupo é um par de um conjunto S e de uma operação binária \circ, por conveniência é preferível referir-nos ao conjunto S como sendo o grupo, omitindo assim a operação binária. Vais aperceber-te que sempre que trabalhares com um determinado grupo, a operação binária vai ser óbvia pelo contexto ou dada no ínicio. A partir daí, podes a partir de agora referir-te ao conjunto S como o grupo G (e fixares a operação binária sem estares sempre a referi-la). (3)
  • Vamos abusar um pouco a notação, mas vai ser mais prática: g \circ h vai passar a ser escrito gh simplesmente. De novo, tens de ter atenção e perceber o contexto do problema. gh \neq g \times h na maioria dos casos. Lembra-te que há muitas operações binárias que podes escolher… Com esta notação (chamada de notação multiplicativa), poderias re-escrever (G2) (o axioma da associatividade) como \forall g, \ h, \ k \in G, g(hk) = (gh)k
  • Devido a esta notação, vou passar a chamar g \circ h = gh um produto, em vez de uma operação binária aplicada a a e b. É um termo puramente descriptivo e é rápido de se dizer – em vez daquele que usávamos. Lembra-te: isto não implica que a operação binária seja multiplicação.

Para teres a certeza de que consegues entender os axiomas com casos específicos, vamos rapidamente provar que (R,+) e (R \setminus \{0\}, \times) são grupos. (4)

Demonstração 1: O par (R, +) forma um grupo na sua respectiva operação binária.

  • Completude:  Como \forall r, \ s \in R, \ r + s \in R, temos que R é fechado sobre a adição.
  • Associatividade: Como \forall g, \ h, \ k \ \in R, (g + h) + k = g + (h + k), temos que R é associativo sobre a adição.
  • Identidade: Como \forall g \in R, g + 0 = 0 + g = g, temos que a identidade tem de ser e = 0.
  • Inversa: Como \forall g \in R \exists (-g) \in R \ | \ (-g) + g = g + (-g) = 0 temos que a inversa de um elemento g tem de ser -g.

… e então o par (R,+) é um grupo. \square (5)

Demonstração 2: O par (R \setminus \{0\}, \times) forma um grupo na sua respectiva operação binária.

Antes de mais, um pequeno reparo: Porque é que escolhi (R \setminus \{0\}, \times) e não (R, \times)? Achas que existe inversa multiplicativa de 0, i.e. \frac{1}{0} ? (6)

A resposta é não. Lembra-te da definição de um grupo: em (G4), a definição pede que haja inversa para todos os elementos no grupo ( \forall g \in G ). 0 faz com que (R, \times) não seja um grupo. Será que se o retirarmos do conjunto podemos mesmo assim ter um grupo?

Demonstração:

  • Completude:  Como \forall r, \ s \in R, \ r \times s \in R, temos que (R \setminus \{0\}, \times) é fechado sobre a multiplicação.
  • Associatividade: Como \forall g, \ h, \ k \ \in R, (g \times h) \times k = g \times (h \times k), temos que (R \setminus \{0\}, \times) é associativo sobre a multiplicação.
  • Identidade: Como \forall g \in R, g \times 1 = 1 \times g = g, temos que a identidade tem de ser e = 1.
  • Inversa: Como \forall g \in R \exists \ \ \frac{1}{g} \in R \ | \ \frac{1}{g} \times g = g \times \frac{1}{g} = 1 temos que a inversa de um elemento g tem de ser \frac{1}{g}.

… e então o par (R \setminus \{0\}, \times) é um grupo.

Alguns teoremas básicos

No post passado, provei que a identidade e de um grupo tem de ser única. Será que o mesmo se passa com as inversas? Será que foi coincidência termos tido a sorte de encontrar apenas uma para cada elemento? Não. Vamos provar porquê.

Demonstração 3 (A inversa é única para cada elemento do grupo)

Matematicamente escreve-se:

\forall g \in G \ \exists! g^{-1} \ \in G \ | \ gg^{-1} = g^{-1}g = e (7)

Vamos usar o mesmo método que usámos com a demonstração de unicidade da identidade: vamos argumentar por contradição. Vamos assumir que existem duas inversas h, \ k \in G ( h \neq k) . Se assim for, então:

h é uma inversa de g \Rightarrow (logo) hg = gh = e.
k é uma inversa de g \Rightarrow kg = gk = e.

Aqui vem o truque: se hg \in G (isto é ainda mais claro visto que nós sabemos que hg = e e a identidade é sempre elemento de um grupo (8)  e k \in G, o produto khg \in G necessariamente. Isto é verdade porque sabemos que se G é um grupo então vai obedecer a (G1) e comportar-se como um conjunto fechado.

Então temos: gh = e e gk = e. Se multiplicares k na primeira equação, vais ver que k(gh) = ke = k. Usando (G2), a associatividade da operação permite-te dizer que k(gh) = (kg)h = k; mas repara: kg = e porque k é uma inversa de g! Daqui podes concluir que k(gh) = (kg)h = k = eh = k = h. Logo, tens de ter h = k. Acabámos de provar que a inversa de um elemento g \in G é unica. \square  .

Vamos agora mostrar um corolário deste teorema (um corolário é uma dedução de um teorema, que é mais fraca, fácil de provar). (9)

Corolário 1: (a inversa da identidade é a identidade)

Demonstração: Acabámos de provar que a inversa é única para cada elemento. Como sabemos (ou podes verificar) que e \circ e = e^{2} = e \Rightarrow e^{-1} = e, não precisamos de fazer mais nada. Encontrámos uma e sabemos que só há uma. O resultado segue:

\forall G, e^{-1} = e \ \ \square.

Pensa no que acabámos provar: não sabemos que grupos vamos encontrar pela frente, mas independentemente da sua estrutura, número de elementos, etc. temos a certeza de que a inversa da sua identidade será ela mesma. (10)
________

(1) Uma propriedade que vamos ter a oportunidade de provar. Primeiro vamos ter de definir a ordem de um elemento e isso ainda demorar!

(2) Consegues fazer a relação deste facto com o que vimos sobre aritmética modular   ( + \ (mod \ 4) ) ?

(3) Lembra-te que o facto de falares do conjunto S como um grupo G só pode ser feito quando a operação binária está definida (mesmo que omitida). Não faz sentido falar num grupo fechado sem definires primeiro uma operação no qual ele é fechado.

(4) Já conseguiste provar a existência de 3 grupos!

(5) Este símbolo é usado para mostrar o fim de uma demonstração matemática. Há provas matemáticas que são do tamanho de um livro. Pensa no gozo ao colocar o quadrado… no fim do livro.

(6) Se estiveres interessado sobre o porquê de não ser possível definir um valor à expressão \frac{1}{0}, clica aqui.

(7) Como podes imaginar, \exists! quer dizer – existe um e apenas um.

(8) Isto vem da definição: lê com atenção (G3) : “para todos os elementos do conjunto, tem de haver um elemento no conjunto tal que ge = eg = g. Consegues perceber porque é que o conjunto vazio \{ \} não pode ser um grupo?

(9) Por exemplo: se eu provar um teorema sobre qualquer curva contínua e bem definida, então eu posso aplicar um corolário desse teorema a, por exemplo, um círculo).

(10) Consegues aplicar este conceito ao grupo que vimos no post anterior, R_{90^{\circ}} ?

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3 thoughts on “Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #6)”

  1. Muito bom seus posts! Vou lê-los com muito entusiasmo. Eu gostaria de saber se você teria esse material (e não só este) em pdf para eu tê-lo mesmo off-line? Gostei muito da sua escrita, é de fácil entendimento! Caso você não o tenha em pdf, e seja de seu interesse, eu fiz uma pesquisa e parece que existe um programa que converte wordpress em pdf na própria página do site para disponibilizar os posts neste formato.

    Desde já agradeço!

    Estimas.

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  2. P.S. Tem um pequeno equívoco na demostração de (2), onde em associatividade você colocou que ela é definida para soma e, o certo seria; ela é definida para multiplicação.

    Estimas!

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  3. Olá Timóteo e bem-vindo ao PbA. Desculpa pela demora em responder.
    Em primeiro lugar: muito obrigado pelo apoio! Por favor convida mais pessoas a ler o blog.
    Obrigado pelo reparo – o post foi actualizado.
    Em relação ao material em PDF – a minha intenção sempre foi de disponibilizar um ficheiro PDF com cada post. Portanto vou trabalhar nisso o mais rapidamente possível. Se precisares de notas em LaTeX sobre Teoria de Grupos, diz qualquer coisa e eu poder-te-ei arranjar algo mais.
    Cumps!

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