Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #4)

Este é o quarto post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. Resumindo: certos conjuntos, quando combinados com uma certa operação (transformação), podem ter uma propriedade interessante: ao aplicar a operação a dois elementos (daí o nome da operação: binária), o resultado estará no conjunto de novo. Diz-se ser completo, ou fechado.

Atentámos ao facto de que, mesmo assim, não é suficiente tal restrição. Há mais propriedades que um grupo tem de ter. Vamos debruçarmo-nos, pelo momento, sobre a associatividade.

Associatividade de Conjuntos (sobre uma operação binária)

Vamos começar com a definição.

Definição 1 (Definição de operação associativa)

Uma operação \circ  é associativa num conjunto S se, \forall {g_{1}} \ , \ {g_{2}} \ , \ {g_{3}} \in S, ( {g_{1}} \circ \ {g_{2}} ) \circ {g_{3}} = {g_{1}} \circ ( {g_{2}} \circ {g_{3}} )

A expressão lê-se: “Para todos os objectos {g_{1}}, {g_{2}} {g_{3}} \in S , aplicar a operação a {g_{1}} com o resultado da operação de {g_{2}} com {g_{3}} tem de representar o mesmo elemento no conjunto com a operação {g_{1}} com {g_{2}} aplicado a {g_{3}}. É uma condição para que a ordem de aplicação da operação binária despreze “a ordem” dos elementos.

Lembra-te: Isto aplica-se à ordem da aplicação e não à ordem dos elementos: o que quero dizer é que normalmente g_{1} \ \circ \ g_{2} \ \neq \ g_{2} \ \circ g_{1}

Exemplos:

Certamente que concordas que se m, \ n, \ l, \ \in N tem-se que (m + n) + l = m + (n +l)
(Exemplo: (2+3)+4 = 5+4 = 9 = 2 +(3+4) = 2+7 .)
Então a operação \circ = + é a associativa em N.

E se tomássemos r, \ s, \ t, \ \in R com a operação binária \times (multiplicação de números reais)?
Obviamente que sim, desde que ( r \ \times \ t) \ \times \ s = r \ \times \ (t \ \times \ s)
(Exemplo: (4 \times 5) \times 3 = 20 \times 3 = 60 = 4 \times (5 \times 3) = 4 \times 15 . )

Esta propriedade, por mais básica que pode parecer, nem sempre se aplica a todos os números de números! A quando \circ = multiplicação de tensores, nem sempre é verdade que (AB)C = A(BC). Por isso não podes assumi-la como verdadeira sempre. (1)

Dos 4 axiomas que vamos usar para descrever um grupo, 2 já estão no papo (completude e associatividade). Os outros estão estão intimamente relacionados e adereço a questão para a próxima secção.

Inversas de um elemento e a identidade de um conjunto (sobre uma operação binária)

Um grupo terá de ter duas relações que tratarão de como encontrar a distribuição dos elementos dentro do conjunto. Pensa que vai haver uma relação que se vai aplicar. O que vou tentar descrever é algo como mostrar que, para todo os elementos do conjunto, existirá sempre (apenas) um elemento dentro do conjunto de maneira a que eles “se anulem” dentro do conjunto.
Se isto soa marado, vamos por partes e talvez isto possa melhorar. Comecemos pela definição.

Definição 2: (Existência de identidade) 

Por coerência, vou lançar o conceito de identidade, mais não fazer que postular a sua existência.

Num conjunto S com existência de inversa, existe um elemento, denotado e \in S, que representa a identidade do conjunto (sobre uma operação binária).

O que é que caracteriza este elemento e \in S para que seja tão especial? É simples. O que eu me referia na introdução em “aniquilação” de um elemento pelo outro, era precisamente isto : o resultado da operação binária g \circ g^{-1} = e .

Então podemos fazer um pouco mais: vamos definir e rigorosamente:

Definição 3 (Definição de identidade de um conjunto S sobre a operação binária \circ )

\forall g \in S \ \exists g^{-1} \ | g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e .

Esta proposição lê-se ” Para todos os elementos no conjunto S, existe um elemento g^{-1} – chamado de inversa de g que, aplicado a g resulta na identidade e.

Assim já é mais claro: a identidade e é um elemento do conjunto tal que para todos os elementos de S exista um outro elemento \in S tal que o resultado da operação binária de um com o outro seja igual a e.

As coisas parecem fazer mais sentido. Pergunta natural de se perguntar: será que esta definição admite que possam existir vários elementos que tenham essa característica? É uma pergunta que te vai abrir o apetite para perceberes o potencial do método de demonstração matemática, porque é muito simples. Vamos pensar:

Demonstração 1: (A identidade de um conjunto com existência de inversa e tem de ser um elemento único)

Deixa g \in S (lembra-te, este g é arbitrário. Se provares algo com ele, provaste para TODOS os elementos de S ). Então, se existe uma identidade e , isto implica que \forall g \in S \ \exists g^{-1} \ | g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e . (pela Definição 3). Similarmente, se houver outro elemento identidade (vamos chamá-lo de e', então \forall g \in S \ \exists g^{-1} \ | g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e' . Como estas definições são válidas para  todos os elementos de S, ao escolher um elemento arbitrário g, as duas condições têm de ser verificadas ao mesmo tempo: ou seja g \circ g^{-1} = e = g^{-1} \circ g = e'   e então e= e'. O que quer dizer isto? Provámos que, se houvesse uma segunda identidade e' então íamos deduzir que ela seria igual à primeira, e – já que são iguais (e= e' ). Isto é claramente absurdo! Isto prova que se existir uma identidade num conjunto S, essa identidade e tem de ser única. \square

Dois reparos sobre existência de inversas:

  1. A existência da inversa tem de ser garantida para todos os elementos do conjunto S. Nem um pode faltar! (2)
  2. Acerca da existência de inversas, ela só é garantida quando se trabalha num determinada operação binária. É possível que, se tentares arranjares nem que seja uma inversa no conjunto com uma determinada operação e falhares miseravelmente, ainda tenhas a sorte de encontrar uma outra operação faça com que esse elemento tenha agora uma inversa.

Pensa, por exemplo:

Se eu tentar definir a existência de inversas no conjunto R, que operações binárias poderia eu escolher? Não é preciso pensar muito (na minha opinião) para escolher \circ = +. Certamente que, se x \in R, x > 0, é fácil compreender que a inversa de x , que vou denotar x^{-1} tem de ser -x (2). Visto que -x \circ (x) = (x) \circ (-x) = e. Como acabámos de provar a existência de inversas para todo o x positivo, e obtivémos (sempre) o resultado 0, podes usar a equação de cima para afirmar que: A identidade deste conjunto nesta operação binária parece ser 0. Tens de verificar que vai ser o mesmo resultado para x negativo e para x=0.

Sem problema. De modo similar, posso encontrar a inversa de (-x) \in R \ x > 0 Aplicando de novo a equação, queremos que a inversa obedeça à relação. A resposta tem de ser x. Desde de que x \circ (-x) = (-x) \circ (x) = e, é permitido pensar de e = 0.

Prosseguindo, aplicando ao elemento 0 \in R, a sua inversa será… ela mesmo. Este facto vai determinar a unicidade da inversa. Um elemento num conjunto com existência de inversas terá apenas uma inversa que satisfaça a propriedade. Então acabámos de provar que R com \circ = + garante a existência de inversa \forall g \in S.

Nota bem: a notação g^{-1} não deve ser confundida com \frac{1}{g}. Ao assumir isto estarias a forçar a operação binária para ser \circ = \times. É suposta ser lida como “a inversa de g em S sobre a operação binária \circ. (3)

Não quero usar a expressão “grupo” demasiado ainda. Sabemos que é esse o golo, mas vamos primeiro ambientarmo-nos com a compreensão do que estas 4 propriedades significam. No próximo post vamos finalmente definir um grupo e vamos dar um exemplo menos numérico…. Vamos falar do grupo de rotações de um quadrado [A,B,C,D].

_______________
(1) Tensores são estruturas que organizam informação numa maneira discreta (em vez de contínua) sobre elementos. Pode ser uma célula, uma linha, um quadrado, um cubo e a generalização vai para espaços R^{n} = \underbrace{R \times R \times ... \times R}_{n \ vezes} = ({x_{1}},{x_{2}},...,{x_{n}} ) – todos os n-túplos com x_{i} \in R, \forall i \leq n

(2) Consegues entender porque é que o conjunto R com operação binária \circ = \times não pode garantir existências de inversas para todos os seus elementos? Para que elemento g \in S é que não podes encontrar nenhum g^{-1} \in S que seja a sua inversa?

(3) Porque é que fiz isto? Posso manipular tal elemento? Posso. Lembra-te: R é um conjunto fechado sobre a adição e portanto aplicando (-1) \circ x \in R. Ou seja, este elemento tem necessariamente de existir em R.

(4) Lembra-te de novo, que embora estejamos a fazer exemplos de conjuntos com números, vamos rapidamente deixar de trabalhar com eles. Existem objectos que dizem mais sobre estrutura de geometria e álgebra do que números.

(5) Nunca vi um matemático a usar graus como unidade de medida de ângulo. Sabes porquê? Acontece que, aparentemente na natureza todos os processos são simplificados quando se adopta uma certa medida de ângulos. Estes são os  radianos (rad). Um radiano é definido como o ângulo para o qual o raio de um círculo tem o mesmo comprimento que o arco sob a circunferência formado pelo ângulo. Este valor corresponde a, aproximadamente, 1 \ radiano \approx 57 graus. Consegues ver que adoptando esta unidade, muitas equações sobre áreas e volumes se tornam tão mais fáceis de ser determinadas?

(E só para especificar mais: em geometrias não-euclidianas (geometrias de espaço muito estranhas), acontece algo que nunca Euclides imaginaria sobre a sua geometria: A área de um triângulo numa dessas geometrias pode ser calculada usando a soma dos ângulos internos formados! Achas que tal seria possível em geometria euclidiana? (Pensa em várias fórmulas de áreas que conheças.)

(6) Porque é que posso parecer poder fazer esta operação, “composição de rotações”? Acontece que, se tivésse mais rigor, teria de provar que o posso fazer. Qual seria o esquema? Teria de provar que a composição de rotações corresponde à mesma operação que uma permutação sobre (A,B,C,D). Não todas, no entanto! Há permutações que não podiam acontecer com qualquer rotação de 90º. Consegues pensar em alguma? Que tal (A,C,D,B) ? Se estiveres mesmo a perceber o que quero dizer, pensa que transformações é que tinhas de fazer para chegar de (A,B,C,D) a (A,C,D,B). Se calhar até podes perceber algo único sobre essa transformação. (Este conceito vai ficar para o próximo post onde vou explicar o que este grupo nos pode dizer mais).

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2 comentários a “Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #4)”

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