Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #3)

Este é o terceiro post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. No post passado, tentámos definir, com uma certa atenção, o conceito de conjunto.

Usámos também uma certa terminologia: dissemos que se A = \{ cores \ do\ \ arco \ iris \} = \{ Vermelho, \ Laranja, \ Amarelo, Verde, \ Azul, \ Anil, \ Violeta \}
então simbolicamente escreve-se Laranja \in A – Laranja pertence a A. (1)

Repara também que \{ Vermelho, \ Laranja, \ Anil \} \notin A
. O conjunto A é definido como um conjunto de cores e não como um conjunto de conjuntos de cores.

Bem, prometi falar sobre operações binárias e sobre conjuntos fechados. Aqui vamos:

Operações Binárias

Definição 1 (Definição de uma operação binária)

Sejam A, B dois conjuntos. Uma operação binária \circ : A \times A \rightarrow B é uma função tal que \forall {g_1}, \ {g_2} \in A, \ {g_1} \circ {g_2} \in B \subseteq A.

O que quer isto dizer? Para todos os pares de elementos ({g_1},{g_2}) \in A , o resultado da operação binária vai transformar ({g_1},{g_2}) num elemento c que é elemento de A. Diz-se que esta o conjunto A é fechado sobre a operação \circ sse \circ é uma operação binária.

Um exemplo muito simples:

Exemplo 1 ( N com operação binária + )

Do post passado, sabemos que N (o conjunto dos números naturais) N = \{ 1,2,3,4,5,... \} é infinito. Será que + se comporta como uma operação binária em N ? Só há uma maneira de saber: aplica a condição e verifica a sua verdade:

Sejam m, \ n \in N. Então m \circ n = m + n \in N. (a soma de dois números naturais é sempre um número natural). Porquê?

Se m \in N , então \underbrace{1 + 1 + 1 + ...}_{m \ vezes} e se n \in N , então \underbrace{1 + 1 + 1 + ...}_{n \ vezes}.

Então seguramente que m + n = \underbrace{1 + 1 + 1 + ...}_{m+n \ vezes}. Logo m+n \in N.

Repara na subtileza da demonstração: ao escolher m, \ n \in N, não impusemos nenhuma restrição. São gerais. Não sabemos mais destes objectos a não ser que pertencem ao conjunto N. Ao provar algo sobre m, \ n , estamos a provar algo sobre TODOS os elementos de N. É uma tarefa épica, pensa: acabamos de provar algo que se aplica a um número infinito de elementos!

Vimos então que N com operação binária + é um conjunto fechado.

Conseguimos arranjar mais exemplos? Sim.

Vamos voltar a Z_{n} = \{0,1,2,3,...,n-1 \}. Se pensares na dica que dei sobre Z_2, então talvez consigas perceber que é possível generalizar para um dado número n \in N e não só para 2

Exemplo 2 ( Z_{5} = \{ 0,1,2,3,4 \} com operação binária +_{5})

Que operação estranha acabei eu de definir? Em vez de usarmos a normal definição de soma, +, vamos tentar criar uma operação mais sofisticada: adição módulo 5.

Como funciona? É bastante fácil: pensa que agora, em vez de poderes somar indefinidamente, tens um período de 5 elementos. O resultado de +_{5} é o resto do número quando subtraído o número máximo de múltiplos de 5.

Esta é uma maneira astuta de tentar perceber porque é que o conjunto Z_5 é fechado. Olha para a tabela do lado direito: Para saber o resultado de {g_1} \circ {g_2} na tabela, primeiro encontra-se $latex  g_1$ na coluna (vertical) e depois g_2 na linha (horizontal). A sua intersecção dá o resultado. Repara que todos os 5×5 = 25 resultados possíveis estão, de novo, em Z_5. Daí + (mod 5) ser uma operação binária fechada. Que propriedade tem esta tabela de ter para que {g_1} \circ {g_2} = {g_2} \circ {g_1} ?

Consegues imaginar como é definida a operação do lado esquerdo, \times_{5} ? Será que também é uma operação que torna N num conjunto fechado? A resposta: olha para a tabela de todos os resultados possíveis.

Exemplos:

5 \ (mod \ 5) = 0 . Porquê : 5 = 5 \times 1 + 0. Subtraindo o número máximo de múltiplos de 5 (neste caso, apenas 1) tem-se como resto 0.

13 \ (mod \ 5) = 3 . Porquê : 13 = 5 \times 2 + 3. Subtraindo o número máximo de múltiplos de 5 (neste caso, 2) tem-se como resto 3.

Reparaste, só por acaso, que 0, \ 3 \in Z_{5} ? Será coincidência? Não, isso raramente acontece em Matemática. +_{5} = \cdot + \cdot \ (mod \ 5) faz com que o conjunto Z_{5} seja fechado. Vamos perceber porquê:

Da aritmética básica, sabemos que qualquer número z \in Z pode ser sempre escrito como z = n \times q + r \ q,r \in Z, \ r < n. Ou seja, todo o número inteiro relativo pode ser escrito como esta combinação, para um n fixo.

13 = 3 \times 4 + 1 = 4 \times 3 + 1 = 6 \times 2 + 1 = 8 \times 1 + 5

Então estamos garantidos a, sempre que decomponhamos um número z \in Z, o seu resto r \in Z seja menor que n e portanto seja parte do conjunto Z_{n}.

Diagrama do conjunto {Z_{10}}. Já vimos que o conjunto é fechado sob a operação adição módulo 10, mas será que há ainda mais estrutura? Escolhe um número em {Z_{10}} (neste caso, 6). Começa em 0 e vai obtendo o resultado da adição de 6 repetidamente. 0 (mod 10) -> 6 (mod 10) -> 12 = 2 mod (10) -> 18 = 8 mod (10) … Repara que são precisas 5 operações para que regresses à posição inicial (em 0). Que propriedade podemos tentar definir neste conjunto? Haveremos de lá chegar.

Como último comentário, há que fazer reparo a isto: não faz sentido afirmar que um conjunto S é fechado. A condição de S ser fechado é dependente no tipo de operação binária que é aplicada aos elementos de S. Por exemplo:
N, com \circ = + é um conjunto fechado (como vimos), mas N com \circ = / (divisão aritmética) não é!
Escolhe 8, 4 \in N; então \frac{8}{4} = 2 \in N mas \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5 \notin N. (2).

Já tratámos de uma propriedade que, como podes assumir, vai ser essencial na definição de um grupo: um grupo tem de ser fechado sobre uma operação binária. Não chega, no entanto. No próximo post vamos tentar entender o que falta mais para que se defina uma estrutura como um grupo. Isto vai reflectir: a associatividade da operação binária, a existência de um (único) elemento do conjunto, e chamado de identidade e a existência de um único (elemento) para cada elemento no grupo chamado de inversa.

É isso que vamos trabalhar no próximo post.

_____________
(1) De novo, uma definição um pouco ingénua: Como definir exactamente as cores que fazem parte dum fenómeno como o arco íris? Será que é um conjunto infinito? A resposta é afirmativa – a irradiância do Sol chega a valores que possibilitam a emissão de radiação electromagnética a todas as bandas de frequência e comprimento de onda. Mais ainda, a refracção na atmosfera resulta num contínuo de cores. No entanto, esta tecnicidade não faz diferença: lembra-te que o conjunto é criado com elementos bem definidos e hoje em dia a Física sabe que para cada cor no espectro, existe uma relação única da sua frequência como onda (e por conseguinte uma relação única com o comprimento de onda). Isto justifica a parte do “bem definição”.

(2) Este facto também mostra que {g_1} \circ {g_2} \neq {g_2} \circ {g_1}, em geral. Para algumas operações binárias esta propriedade é satisfeita e muitas aplicações podem ser derivadas desse facto! São chamadas operações binárias abelianas.

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