Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #2)

Este é o segundo post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. No primeiro post, tentei motivar o interesse neste ramo da Matemática – a Teoria de Grupos. Não expliquei absolutamente nada sobre a mesma, não defini tão pouco o que um grupo é. Vamos tentar juntar um pouco mais de intuição ao conceito primeiro.

Definição 1 (Definição de um conjunto):

Um conjunto S é uma colecção de objectos bem-definidos.(1)

Esta definição é bastante livre: não impõe qualquer restrição no número de elementos (pode ser um número infinito), ou no tipo de objectos: números, conjuntos, vectores, livros no quarto). Tudo o que é preciso é definir uma entidade que exista (por postulação) e provar que é bem-definida (2).

Com esta definição, conjuntos válidos podem ser A =\{ x | x \in N\} = N = \{ 1,2,3,4,5,...,n \}
(este é o conjunto dos números naturais.)
ou mesmo
X = \{ dias \ da \ semana \ | \ primeira \ letra \ = "S" \} = \{ Segunda, \ Sexta, \ Sabado \}
Quantos conjuntos podemos conceber? Infinitos.

Devido a este facto, o matemático tem de ser esperto: como poder definir um conjunto, sabendo que ele pode ter infinitos elementos (como o conjunto dos números naturais, N ? A resposta: mais do que saber exactamente que elementos estão contidos no conjunto, o essencial é ter uma condição P(x)  tal que se x_1, \ x_2, \ ... \ x_n forem elementos do conjunto,
P(x_i) é verdadeira, \forall i \leq n . Repara que eu referi “uma” condição. Ela não é única. Certamente que X = \{ n \in N \ | \ f(n) \ = \ n^2 - n -6 \leq 0 \} = \{n \in N \ | \ -2 \leq n \leq 3 \} e, como as restrições são diferentes, este exemplo prova que há várias maneiras de definir um conjunto através das duas propriedades.

Este facto motiva o uso da notação S = \{ x \in X \ | \ P(x) \} . Lê-se: S é o conjunto de todos os x \in X tal que P(x).

Vimos que conjuntos, matematicamente, são facilmente definidos usando condições que restrinjam os elementos ao conjunto desejado.

Para se entender alguns dos conjuntos que vamos trabalhar em Teoria de Grupos, listam-se as suas notações e explicações.

N = \{1,2,3,4,5,... \} – o conjunto dos números naturais
Z = \{ ...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... \} – o conjunto dos números inteiros relativos.
Q = \{ \frac{a}{b} \ | \ a,b \in Z \} – o conjuntos dos números racionais. Considera a divisão de dois números inteiros relativos. O conjunto de todos os resultados possíveis define Q.
R = \{ x | (x_i) \in Q \ \forall i \in N \wedge \lim_{n \rightarrow \infty} {x_i} = x\} Os números reais são mais difíceis de descrever. A definição que uso vem de um resultado de Análise Matemática. Sem me querer alongar muito, os números reais representam o conjunto de todos os números x tal que x é o (único)  limite de uma sequência de números racionais. Sendo assim, 1, \ \pi , \sqrt{3}, \frac{-1}{19}, \ 0 \in R . Como usar esta ideia para provar que \pi \in R \ ? (5)
Z_{n} = \{ 0,1,2,..., n-1 \} – o conjunto dos números inteiros mod n. Brevemente faremos algum trabalho com este grupo mas por enquanto fica só a definição. Por exemplo Z_{2} = \{ 0,1 \}. Consegues entender o significado que este conjunto pode ter? (6)
Podemos até dizer um pouco mais: se definirmos a relação A \subseteq B   se e só se (sse) \forall x \in A \Rightarrow x \in B A diz-se um subconjunto de B) então N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R.
X = \{simetrias \ do \ quadrado \ [ABCD]\} – vamos ter a oportunidade de definir algebricamente este conjunto. (7) Em papel!

Próximo post: o conceito de um conjunto fechado e de uma operação binária.
______________

(1) Esta definição faz parte do que os matemáticos designam de Teoria de Conjuntos “ingénua”. Consegues ver onde ela falha? Tenta construir S = \{ X \ | \ X \notin S \} – o conjunto dos conjuntos que não pertencem a si mesmos. É fácil aperceberes-te que S não pode existir. Se X pertence a S então X não pertence a S (pela definição) e se X pertence a S então X não pertence a S  (de  novo, pela definição). Simbolicamente, \forall X \in S \Rightarrow X \notin S \forall X \notin S \Rightarrow X \in S . Este contra-exemplo foi dado pelo grande filósofo e matemático Bertrand Russel.

(2) Esta aproximação à Matemática é chamada de constructivista. Em termos básicos, o Constructivismo Matemático assenta na premissa de que se tem de criar um objecto para provar a sua existência. Mais em http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constructivism

(3) Isto é só para dizer que não existe estrutura de ordem num conjunto.

(4) Se pensares num grupo S suficientemente grande, pensa no grupo de todas as permutações de S – ou seja, no grupo de todas as combinações de ordem desses elementos. Por exemplo, em A = \{ 1,2,3 \} tens 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 possibilidades: (1,2,3), (1,3,2), (3,1,2), (3,2,1), (2,3,1), (2,1,3). Achas que é razoável assumir que o argumento é válido para um conjunto infinito? (Será que podem haver infinitos maiores que outros? A resposta é afirmativa).

(5) Sabendo que \pi = 3.1415926... então \pi = 3 + \frac{14}{100} + \frac{159}{10000} \frac{26}{10000000} + ... (por exemplo).

(6). Z_{2} indica que, qualquer número em Z, após divisão por 2, terá resto 0 ( e então será par) ou resto 1 (e então será ímpar).

(7) Porque será? Mais que um conjunto, X é um grupo (mas cada coisa a seu tempo).

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