Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #1)

Este é o primeiro post sobre Álgebra Abstracta – Série em Teoria de Grupos. Os Matemáticos arranjam com cada criação. Que nome refinado, que pompa de intelecto. Uma mão de nada, dizem muitos. O que é que há a dizer sobre um grupo a mais do que tudo o que nós sabemos: é um grupo de coisas. É intuitivo e inútil.

Bem, não bem. De facto, não de todo. A Teoria de Grupos desempenha um papel fundamental em áreas tão diversas e com objectivos tão divergentes como em Mecânica Quântica, em Física de Partículas, em Electrónica de Circuitos, como em Matemática na determinação de simetrias, níveis de liberdade, e na estrutura de conjuntos.

As aplicações – e as consequências da aplicação da Teoria de Grupos – são abissalmente bem sucedidas. A Física de Partículas precisa de encontrar estruturas que expliquem interações entre diferentes partículas (que são muitas: o electrão, neutrão, protão, quarks, leptões, hadrões, bosões e fermiões, gauge-bosons, piões, neutrinos, sigmas, lambdas, etc). Encontrar simetria na descrição dos seus estados quânticos parece ser uma das maneiras mais eficazes na determinação das suas interacções. Os grupos de Lie conseguem resolver o caso em muitos modelos. São extremamente simétricos e complexos:

Grafo E8 do politopo Gosset 4_21 como uma projecção ortogonal hermitiana num polígono de Petrie

No ramo mais teórico : se fazes compras online então agradece de novo aos grupos. É baseado num princípio de Teoria de Grupos que se consegue criar uma estrutura sobre um “conjunto de elementos que podem ser computados” tal que seja praticamente impossível para alguém decifrar a estrutura. Estes grupos são muito importantes e haveremos de falar sobre eles. São grupos abelianos cíclicos.
Ou ainda: como modelar as trajectórias dos electrões num átomo? Isto parece de loucos! Não pode ser possível conseguir saber onde o electrão está à volta de um átomo. Um átomo tem 0.00000000001 metros de diâmetro e o electrão tem uma velocidade em média > 99% da velocidade da luz no vácuo! Isto equivale a 300000000 (300 milhões) de metros por cada segundo. (Consegues ter noção desta escala?) Este é o limite universal da velocidade no Universo (segundo a Relatividade Geral de Einstein e a Electrodinâmica Quântica de Feynman ou a Electrodinâmica de Dirac).

Pensa nos números: é absurdo. Como podemos medir com exactidão a posição dos electrões à volta do núcleo? Por três quartos do percurso, a Teoria de Grupos aparecem e, acredite-se ou não, hoje temos uma visão incrivelmente avançada da densidade da probabilidade de um electrão à volta do núcleo. Este princípio é usado em muita da Química Avançada que se faz hoje em dia (1). A evidência experimental é altamente corroborativa de toda a teoria matemática que usa. (Será que as verdades matemáticas são necessariamente verdadeiras?) (2)

Grafo de Cayley para o grupo D_8 (O grupo Diedral de ordem 8). Olha para a letra F. e olha para as setas. Parece que, ao multiplicar uma configuração por um elemento deste grupo. se obtém uma transformação que também é simétrica à original. Podemos provar que estas 8 configurações são as únicas que mostram toda a simetria da letra F? Sim.

Com Teoria de Grupos temos ferramentas para compreender como os electrões se comportam “internamente” – curiosamente, o seu valor de spin é caracterizado por elementos de um grupo de ordem 8. Este grupo já era há muito tempo estudado, mas com propósitos diferentes: nunca imaginou Willian Rowan Hamilton (3) que a sua criação algébrica dos Quaterniões pudesse alguma vez ter a mesma estrutura que os electrões usam na sua configuração de spin.

De novo, isto é absurdo! Como provar que estas duas estruturas são a mesma, definidas de maneira diferente? Como escrever isto em papel? É possível concretizar estas ideias? Isto soa demasiado a filosofia, razoável assumir que há solução? Estrutura, como definir algo tão abstracto?

Esquema de uma estrutura: se f é um homomorfismo do grupo G para o grupo H, a estrutura do grupo quociente em módulo ker f – que é um subgrupo normal de f – é a mesma do subgrupo im f, a imgem do homomorfismo f.

O facto de ser uma disciplina abstracta ajuda muito: estes conceitos são tão abstractos que dificilmente alguém criaria tal definição; mas quem se ri por último, ri sempre melhor.
Eu vou mostrar como, começando com definições e axiomas básicos (objectos que conferem “estrutura” ao grupo), se pode chegar a resultados chocantes e altamente contra-intuitivos. São verdadeiros, embora nós não pudéssemos observar directamente.
Estrutura é mesmo a palavra que melhor caracteriza o propósito de T.G. – um grupo pode definir uma certa estrutura sobre um conjunto de elementos. Estes podem ser de qualquer ordem (finitos ou infinitos), mas à medida que se cria um conceito rigoroso de grupo, muitas coincidências acontecem: a teoria começa a dar frutos e começamos a reparar que há sentido em estruturas, simetrias e transformações.

É isto que vamos começar a entender e aprender de seguida.
________

(1) – Dá uma espreitada sobre Molecular Orbital Theory –  http://en.wikipedia.org/wiki/Mo_theory

(2) – Esta é uma das grandes questões em Filosofia da Matemática. Vou fazer esta cadeira para o próximo ano e talvez toque nela num futuro próximo! Um cheirinho em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Philosophy_of_mathematics

(3) – Hamilton criou um sistema de números muito estranho; mas ele funciona, e tudo o que tu sabes sobre números racionais, reais, irracionais e mesmo complexos vão ser consistentes com a sua reformulação. Vamos falar dos quaterniões mais para a frente:
http://en.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton

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