Teoria de Representações de Grupos (Post #6)

Neste post vamos poder ver mais concretamente o que é uma representação. Como podes entender, o estudo da Matemática tem duas vertentes: uma teórica e uma mais aplicada. A intuição das aplicações motiva a vertente teórica. Veremos que a Teoria de Representação de Grupos nada mais é que uma aplicação a fazer álgebra sobre os grupos. Multiplicações de elementos serão simples multiplicações de matrizes e acções de grupos uma simples multiplicação de matrizes (elementos de grupo) com vectores num espaço vectorial. . Continue reading Teoria de Representações de Grupos (Post #6)

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Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #8)

Por mais intuitivos e úteis que os produtos escalares definidos no post passado sejam, eles não podem realmente representar o conceito de “projecção” verdadeiramente em qualquer espaço vectorial.
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Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #7)

Para terminarmos a primeira parte desta série, vamos dar a conhecer ainda mais um tipo de estrutura que pode ser acoplada a um espaço vectorial V. Se a norma generalizou o conceito de magnitude de um vector em V e uma métrica generalizou o conceito de distância entre dois vectores em V, o produto interno será uma generalização do produto escalar entre dois vectores. O produto escalar já não será assim tão intuitivo de se entender. Porquê generalizar esta ideia? Lê mais aqui

Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #6)

Como prometido, dar-se-á um exemplo de uma métrica intuitiva e radicalmente diferente da (bastante intuitiva) métrica de distância euclidiana (o comprimento do segmento de recta que une os pontos x,y). Lembra-te que a definição de métrica apresentada no post anterior serve para generalizar o conceito de distância euclidiana. Isto acontece porque, por vezes, a noção de distância euclidiana não é a mais acertada para trabalhar com determinados espaços, como iremos ver. Vamos exemplificar com um exemplo.

Lê mais aqui

Apresentando: Matemática do Planeta Terra 2013

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2013 é o Ano Internacional da Matemática do Planeta Terra! O Paralysis by Analysis vai contribuir para disseminar conhecimento sobre as mais variadas áreas do tópico e mostrar como a Matemática pode ser um factor com um impacto tão esplendoroso na definição de respostas, métodos e soluções para os maiores problemas do nosso Planeta Terra.

(traduzido e adaptado do site oficial – http://mpe2013.org/about-mpe2013/ )

Sobre o MPE2013

Mais de uma centena de sociedades científicas, universidades, institutos de investigação e organizações por todo o mundo juntaram-se para dedicar o ano de 2013 como o ano especial da Matemática do Planeta Terra.

O nosso planeta oferece o cenário para processos dinâmicos de todos os tipos, incluindo os processos geofísicos do manto, os continentes, os oceanos, os processos atmosféricos que determinam o nosso tempo e climas, os processos biológicos que envolvem espécies vivas e as suas interacções, e os processos humanos de finanças, agricultura, água, transportes e energia. Os desafios que olham o nosso planeta e a nossa civilização são multidisciplinares e multifacetados, e as ciências matemáticas são centrais no esforço científico de entender e de lidar com tais desafios.

A missão do projecto MPE é de:

  • Encorajar investigação na identificação e solução de questões fundamentais sobre o Planeta Terra
  • Encorajar educadores de todos os níveis a comunicar os problemas relacionadas com o Planeta Terra
  • Informar o público sobre o papel essencial das ciências matemáticas na solução de desafios no nosso planeta.

O MPE2013 é agora um projecto de ano internacional sob o patronato da UNESCO. O MPE2013 é gerido pelos seus parceiros. Os parceiros, maioritariamente institutos científicos, sociedades, organizações internacionais e associações de professores prometeram organizar actividades de cariz científico no tema. Por vários anos já, um plano intenso de actividades científicas está a ser cumprido um pouco por todo o mundo. Muitos institutos de investigação irão acolher programas de vários meses, workshops e escolas de verão durante 2013. […] Uma competição internacional de exibições de qualidade de museu produzirá a base de uma Exibição virtual do MPE em Open Source, que será oficialmente inaugurada nas instalações oficiais da UNESCO em Paris, no dia 5 de Março de 2013.

O MPE2013nasceu da vontade da comunidade mundial matemática de aprender mais sobre os desafios que o nosso planeta atravessa e dos seus subsequentes problemas matemáticos, assim como para aumentar o esforço de investigação nestas áreas. De facto, as recentes tendências aumentaram a pressão para compreender o planeta e o seu ambiente: a população que aumenta competindo pelos mesmos recursos globais, a frequência e intensidade de dramáticos eventos meteorológicos que aumentam, a evidência que aponta para padrões de longo curso sobre alterações climáticas do Planeta.

Os Matemáticos têm conhecimento e mestria em modelação e em resolver problemas. O MPE2013 cria oportunidades excepcionais para a formação de associações e colaborações de longo curso, tanto dentro das ciências matemáticas como com outras áreas científicas relacionadas. Permitirá o treino e formação de uma nova geração de investigadores trabalhando em problemas científicos relacionados com alterações climáticas e sustentabilidade.

O tema “Matemática do Planeta Terra” é interpretado o mais geralmente possível. Juntando-se às alterações climáticas e sustentabilidade, inclui também Geofísica, Ecologia e Epidemiologia, Biodiversidade, assim como organizações globais do Planeta, gerida por humanos. Os diferentes temas foram classificados nestas quatro categorias:

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As 4 Categorias do MPE2013:

  • UM PLANETA PARA DESCOBRIR: Oceanos, Meteorologia e Clima, processos da manta, recursos naturais, sistemas solares.
  • UM PLANETA QUE ADMITE VIDA: Ecologia, Biodiversidade, Evolução.
  • UM PLANETA ORGANIZADO POR HUMANOS: Sistemas políticos, sociais e financeiros; organizações de transporte e redes de comunicação; gestão de recursos; energia.
  • UM PLANETA EM RISCO: Alterações climáticas, desenvolvimento sustentável, Epidemias; espécies invasoras, desastres naturais.

Assim, O Matemática do Planeta Terra atrai investigadores com uma carteira de mestria muito variada. O aumento do seu esforço e da sua colaboração durará para lá de 2013.

MPE2013 no Paralysis by Analysis

A ideia é simples: dar continuação à disseminação de ideias, conteúdos e de novas áreas por este blog! Para cada mês do ano, será escolhido um tema e daí uma série de 2 ou 3 posts no tema, assim como material relacionado que possa ser partilhado, como palestras públicas, vídeos ou ebooks. O tratamento do tema será variável na sua dificuldade, mas tentar-se-á ser o mais directo e simples. Este é um evento de divulgação e de alerta para as massas. Obviamente, sendo sobre Matemática do Planeta Terra, o conteúdo de muitos posts será focado… em Matemática.

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Partilhem este artigo assim como o material que venha surgindo depois!
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Site Oficial – http://mpe2013.org/

Secção do Paralysis by Analysis dedicada ao eventohttps://paralysisbyanalysis52.wordpress.com/category/matematica-do-planeta-terra-2013/

Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #5)

Nesta fase, em que já entendemos a definição de uma norma (mas ainda sem um objectivo ou uso directo de tal conceito), prossigamos com mais definições simples. Teoremas, resultados e exemplos serão dados mais para diante à medida que sejam necessários. Neste post falaremos de métricas em conjuntos. Continue reading Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #5)

Feliz 2013 & Os Números de 2012

O Paralysis by Analysis deseja a todos os seus visitantes e seguidores um excelente ano 2013!

2012 foi o primeiro ano do Paralysis by Analysis e as expectativas são positivas. Gradualmente, o conceito começa a desvendar-se e mais e melhor virá!

Este ano será um grande ano. 2013 é o Ano Internacional da Matemática do Planeta Terra. O Paralysis by Analysis contribuirá para esta celebração com uma série de posts em vários tópicos na área. Este assunto será tratado com mais pormenor num post brevemente!

Os Números de 2012

Os duendes de estatísticas do WordPress.com prepararam um relatório para o ano de 2012 deste blog.

Aqui está um excerto:

600 people reached the top of Mt. Everest in 2012. This blog got about 3.400 views in 2012. If every person who reached the top of Mt. Everest viewed this blog, it would have taken 6 years to get that many views.

Clique aqui para ver o relatório completo

Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #4)

Agora que se entende melhor esta estrutura matemática de um Espaço Vectorial, duas outras noções têm de ser introduzida: o conceito de norma e de métrica. Porquê? A ideia primária de Análise é de rigorosamente definir conceitos como o que significa “convergir”, que propriedades importam na construção de resultados. É óbvio que alguns conceitos estão muitas vezes relacionados de uma forma bastante directa e intuitiva. Um exemplo deste facto pode ser dado por esta situação: uma função que seja diferenciável num ponto é contínua no ponto mas não necessariamente no sentido inverso. Existem certas características talvez mais abstractas que permitem distinguir o caso em que é possível deduzir que certas funções que são contínuas são diferenciáveis. Para entendermos a Análise Funcional, terás de entender que as definições, por mais estranhas e desvinculadas do objecto de estudo que possam parecer, resultam de condições necessárias para entender o porquê de certos resultados serem verificados em casos particulares. Na nossa óptica, a grande distinção está entre espaços vectoriais de dimensão finita ou infinita. Esta é a mensagem a reter: espaços vectoriais finitamente dimensões são fáceis de entender e de categorizar. Através de certas definições e resultados que iremos obter nos próximos posts, vamos poder provar que, mesmo que um espaço vectorial V seja abstractamente definido, o facto de ele possuir dimensão finita faz com que ele seja essencialmente o mesmo que o espaço vectorial \mathbb{K}^{n}! Antes, o começo: Continue reading Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #4)

Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #3)

Continuemos a entender do que estes espaços vectoriais se tratam. Primeiro, pensemos em exemplos mais exóticos e menos intuitivos. Muitos problemas em Matemática foram resolvidosa partir do momento que se estabelece que um determinado conjunto pode ser apetrechado de um tais operações + e \cdot tal que possa ser um espaço vectorial! As propriedades abstractas que se vão provar neste post vão poder então ser aplicadas a exemplos concretos e isto ajuda a compreender a instância particular de muitos factos que ocorrem nestes espaços. Continue reading Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #3)

Análise Matemática – Introdução a Análise Funcional (Post #2)

Um espaço vectorial é uma estrutura algébrica ou seja, um objecto cuja estrutura é postulada. Entendemos o que uma estrutura algébrica é pelas relações existentes nos seus elementos. A definição matemática de um campo vectorial é simples: informalmente, trata-se de um conjunto com uma operação binária comutativa (soma +) e multiplicação de elementos num corpo. Um corpo é outra estrutura algébrica, já introduzida neste post, por exemplo. A utilização de corpo é algo geral: normalmente todos os espaços vectoriais usarão os nossos corpos favoritos: os reais \mathbb{R} e os complexos \mathbb{C}.  Recriando a definição  (já dada aqui), tem-se que:

Definição 1: (Espaço Vectorial)

Seja V um conjunto de elementos. Um espaço vectorial (V,+, \cdot) sobre um corpo \mathbb{F} é um triplo em que + : V \times V \rightarrow V e

\cdot : \mathbb{F} \times V \rightarrow V são operação binárias tal que \forall x,y,z \in V

  1. x+y = y+x (Comutatividade da Adição)
  2. x+(y+z) = (x+y)+z (Associatividade da Adição
  3. \exists 0 \in V tal que x+0 = 0+x = x (Existência de uma identidade aditiva)
  4. \forall x \in V, \exists -x \in V tal que x+(-x) = (-x)+x = 0 (Existência de uma inversa aditiva)
  5. \forall \alpha \in \mathbb{F}, \alpha ( x+y) = \alpha x + \alpha y (Distributividade da multiplicação escalar com respeito à adição)
  6. \forall \alpha \ \beta \in \mathbb{F}, (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x (Distributividade da muliplicação escalar com respeito à adição do corpo (1))
  7. \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{F}, \alpha ( \beta x) = (\alpha \beta) x (Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação do corpo (2))
  8. \exists 1 \in \mathbb{F} tal que 1x = x (Existência de uma identidade multiplicativa escalar)

Vários espaços vectoriais são geométricos. Repara:

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Exemplos de espaços vectoriais

  1. Um ponto (necessariamente x=0 – repara que a existência de 0_{V} é sempre garantida pela alínea 3 da Definição 1). Então \{0 \}, com adição de pontos é um espaço vectorial, visto que: 0+0 =0 e \alpha 0 = 0 \forall \alpha \in \mathbb{R}. É chamado o espaço vectorial trivial, visto que é o espaço vectorial mais pequeno possível!
  2. Uma recta que contenha a origem (uma função afim). Repara que a dimensão deste espaço vectorial é finita, mesmo que o segmento contenha infinitos pontos.
  3. O plano \mathbb{R}^{2} que vimos no post passado é um um espaço vectorial importantíssimo.
  4. Como podes imaginar, o próximo passo é dado pelo espaço \mathbb{R}^{3}, com três dimensões.
  5. Para generalizar, usando qualquer n \in \mathbb{N}_{0}, \mathbb{R}^{n}. Estes espaços vectoriais (reais) também são chamados de Espaços Euclidianos em honra ao pai da Geometria, Euclides. Em geral \mathbb{R}^{n} = \{ (x_{1},x_{2},...,x_{n}) \ | \ x_{i} \in \mathbb{R} \ \forall i \leq n
  6. Para generalizar ainda mais, o mesmo raciocínio pode ser aplicado a \mathbb{C}. O espaço \mathbb{C}^{n} é um espaço vectorial (complexo). Se se considerar \mathbb{C}^{n} sobre o corpo dos reais \mathbb{R}, este forma igualmente um espaço vectorial.
  7. O conjunto de todos os polinómios em uma variável P[\mathbb{F}] sobre um corpo \mathbb{F} é um espaço vectorial, visto que para cada polinómio p \in P[\mathbb{F}], p = \sum_{i=0}^{n} \alpha_{i}x^{i}, com \alpha_{i} \in \mathbb{C} e n \in \mathbb{N}_{0}. (1)
  8.  O conjunto de todas as sequências limitadas num corpo, denotada por l^{\infty}(\mathbb{F}) = \{ \{ (x_{1},x_{2},...) \ | \ x_{i} \in \mathbb{F} \ \forall i \ | \ sup_{k \in \mathbb{N}_{0}}|x_{k}| <\infty \}. Por palavras, este é o conjunto de sequências (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} que sejam limitadas, ou seja, que atinja um máximo para pelo menos um k \in \mathbb{N}. Por exemplo, se \mathbb{F}= \mathbb{R}, então a sequência (1,1,1,1,1,...) é limitada (obviamente), enquanto que (1,2,3,4,5,....) não o é. Prova que este espaço é um espaço vectorial com adição dada por x, y \in l^{\infty}, x = (x_{1},x_{2},...) e y = (y_{1},y_{2},...), então x + y = (x_{1},x_{2},...) + (y_{1},y_{2},...) = (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...) e multiplicação escalar dada por \alpha x = \alpha (x_{1},x_{2},...) = (\alpha x_{1}, \alpha x_{2},...)
  9. Generalizando o conceito, seja 1 \leq p < \infty. O conjunto l^{p}(\mathbb{F}) é o conjunto de todas as sequências sumáveis da p potência.
    Formalmente, l^{p}(\mathbb{F}) = \{ (x_{1},x_{2},...) \ x_{k} \in \mathbb{F} \ | \ \sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}|^{p} < \infty \}
    Será que este conjunto, com adição e multiplação escalar dada pelo exemplo 8 forma um espaço vectorial? Temos basicamente de verificar que a soma x+ y \in l^{p} para todo x,y \in l^{p}.
    Considera a soma \sum_{k=0}^{\infty} |x_{k}+y_{k}|^{p} \leq \sum_{k=0}^{\infty}(|x_{k}|+|y_{k}|)^{p} \leq \sum_{k=0}^{\infty} 2 max(|x_{k}|,|y_{k}|)^{p} \leq \sum_{k=0}^{\infty} 2^{p}(|x_{k}|^{p}+|y_{k}|^{p}) = 2^{p} \sum_{k=0}^{\infty} |x_{k}|^{p} + 2^{p}\sum_{k=0}^{\infty}|y_{k}|^{p} < \infty e então x+y \in l^{p}.
  10. Considera agora o conjunto de todas as funções reais contínuas no intervalo [0,1]. Aplicando a adição e multiplicação escalar como no exemplo 8 (a maneira mais natural), forma-se um espaço vectorial (em que cada vector é agora uma função!) (2)

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(1) Um bom exercício para se certificar que se entendeu o conceito é de provar que P[\mathbb{F}] forma um espaço vectorial, em que a adição é a adição polinomial, i.e. (\alpha + \beta)(x) = \alpha(x) + \beta(x) e a de comum multiplicação escalar (k \alpha)(x) = k \alpha(x).

(2) Este espaço, quando dotado de uma função métrica, dá origem a um espaço completo, chamado de Espaço de Banach. Mais nos próximos posts.

Pela lógica e mais além…

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