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Álgebra Abstracta – Introdução a Teoria de Grupos (Post #21)

No post passado, apresentaram-se exemplos de homomorfismos (para além dos exemplos de isomorfismos dados há uns posts atrás!). Neste post vamos aprender mais um conceito básico que vai amontar sobre o que já temos em Teoria de Grupos. Relembra-te que no post 15, houve uma pequena digressão em relações de equivalência portanto de partição de um conjunto. Através do conceito de classe lateral, vamos aprender métodos que nos permitam fazer precisamente o mesmo: particionar o grupo em pequenas secções, todas disjuntas.

Relembra-te que se um conjunto S e uma relação de equivalência R particionam S. Uma relação de equivalência R, para todo x, y, z \in G

  • xRx (reflexividade)
  • Se xRy então yRx (simetria)
  • Se xRy e yRz então xRz (transitividade)

Para grupos, vamos usar esta relação de equivalência:

Fixando um subgrupo H de um grupo G, para quaisquer x, y \in G, define a relação x R y se e só se xy^{-1} está no subgrupo H.

Será que esta relação é mesmo de equivalência? Não custa nada mesmo provar:

Teorema 1:

A relação R explicada acima forma uma relação de equivalência em G.

Demonstração:

Toma x,y,z \in G, como acima. Claramente que, visto que xx^{-1} = e_{G} e e_{G} \in H, tem-se que x R x (Reflexividade), Assume agora que xRy. Então xy^{-1} \in H; mas como (xy^{-1})^{-1} = yx^{-1} \in H, tem-se que yRx (Simetria). Para finalizar, assume que xRy e yRz. Então xy^{-1} e yz^{-1} \in H. Logo (xy^{-1}yz^{-1} = xz^{-1} \in H e então xRz (Transitividade) \square

Definição 1: (Definição de uma classe lateral)

Uma classe lateral direita do subgrupo H é uma classe de equivalência da relação de equivalência R.

Dada a definição, como denominar classes laterais direitas? Repara que se a \in G, a classe de equivalência que contém a é o conjunto \{ x | xa^{-1} \in H \} = \{ x | x \in Ha \}, ou seja Ha. Em síntese, esta classe é o conjunto de todos os elementos x tal que x = qa^{-1} para algum q \in H. O elemento a \in G é chamado de representante.

De maneira similar, pode-se definir classes laterais esquerdas pela relação de equivalência xRy se e só se x^{-1}y \in H. Como seria de esperar, uma classe lateral esquerda que contém um elemento a \in G é representada por aH. O elemento a \in G é chamado de representante.

Repara que é óbvio que uma classe lateral não pode ser definida por este elemento a: qualquer outro elemento na classe poderia ser usado para representar a mesma classe. Como reparo, toma ainda o caso de que a notação é multiplicativa. Se a operação binária for comutativa, é comum designar a classe lateral de a em H como a + H ou H + a. Repara que, pela comutatividade da operação, as classes laterais esquerda e direita são iguais.

Relembrando a notação então, tem-se que aH = \{ ah \ | \ h \in H \} e que a + H = \{ a + h \ | \ h \in H \}. As classes laterais direitas são definidas de modo similar.

Um primeiro exemplo

Toma como exemplo o seguinte caso: o conjunto Z pode ser particionado usando o subgrupo 2Z = \{ 2z \ | \ z \in Z \} (o conjunto dos números (inteiros) pares, usando adição . Claramente que 2Z < Z (ou seja, os números pares formam um subgrupo dos números inteiros). Que classes laterais se podem formar? É óbvio que há apenas duas: 2Z e 2Z + 1. Pode-se entender 2Z + e_{Z} = 2Z + 0. Já o segundo, podia igualmente ser escrito como classe lateral (direita ou esquerda) de qualquer elemento ímpar, por exemplo 2Z +3 = 2Z -1. Obviamente que, neste caso 2Z + 1 = 1 + 2Z.

Neste exemplo, reparámos que existem duas classes laterais. Será que é coincidência?

Definição 2 : (Definição de índice)

Seja G um grupo arbitrário e H um subgrupo de G. Então o index de H em G, denotado por |G : H| é o número de classes laterais diferentes de H em G.

No exemplo dado, G = Z e H = 2Z e então |Z : 2Z| = 2 pois existem duas classes laterais.
Repara ainda que, a definição assume que o número de classes laterais esquerdas ou direitas é o mesmo, algo que pode ser provado.

Teorema 2: (O índice de H em G é o mesmo para classes laterais esquerdas ou direitas)

Demonstração:

Como sabemos, visto que as classes laterais (esquerdas ou direitas) particionam o grupo, todo o elemento g \in G pertence a uma e só uma destas.  Assume que existem r classes laterais diferentes ou seja, que G = \bigsqcup_{i=0}^{r} a_{i}H (1), em que a_{i}H sejam classes laterais diferentes. Assume que x \in G. Então existe q tal que 1 \leq q \leq r tal que x \in a_{q}H e existe w tal que 1 \leq w \leq r tal que x \in Ha_{w}^{-1} \Leftrightarrow x(a_{w}^{-1})^{-1} \in H. Então xa_{w} \in H \Leftrightarrow (x^{-1})^{-1}a_{w} \in H e então x \in a_{w}H. Como o resultado é válido para um w fixo, então pode-se ainda escrever que G = \bigsqcup_{i=0}^{r} Ha_{i}^{-1} e então existem r classes laterais direitas \square.

No próximo post introduzir-se-á o conceito de subgrupo normal, que depende na relação entre classes laterais esquerdas e direitas de um elemento g \in G. Desse conceito muitos resultados brotarão!

____________
(1) O operador \sqcup refere à união disjunta de conjuntos, enquanto que \cup denota a união de conjuntos em geral.

(2) Um resultado menos computacional e mais conceptual para provar o teorema 2 pode ser usado. Denomina o espaço de classes laterais esquerdas (E) e direitas D, como o conjunto de todas as classes laterais esquerdas e direitas que sejam diferentes. Define agora um mapa \phi : E \rightarrow D por \phi(gH) = Hg^{-1}. Prova que este mapa é bijectivo! (Não te esqueças de provar que é bem definido: ou seja, se aH = bH então \phi(aH) = \phi(bH))

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